Question

Uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas iguais a 4cm. Determine: (Use: √3 = 1,7).

a) A medida do apótema da base.
b) A medida do apótema da pirâmide.
c) A área da base.
d) A área total.
e) O volume.

Answer 1

Olá,

* Apótema de um triângulo equilátero = $\frac{l\sqrt{3}}{6}$

Obs: apótema em um triângulo equilátero é um terço da medida da altura do triangulo equilátero. Por isso $\frac{l\sqrt{3}}{6}$.

* Área do triângulo equilátero = $\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

* Volume da pirâmide = $\frac{Ab.h}{3}$

Ab - área da base

Considerando esses pontos vamos ao cálculo.

a) A apótema da base é igual a $\frac{4\sqrt{3}}{6}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, já que a apótema da base corresponde à apótema de um triângulo equilátero.

b) De cara já podemos dizer que o apótema a pirâmide é igual a $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{2}$ = $2\sqrt{3}$, já que corresponde à altura de um triângulo equilátero.

c) A área da base é igual à área de um triangulo equilátero. Logo,

$\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}$ = $4\sqrt{3}$

d) Área total é igual a 4 vezes a área de um triângulo equilátero, já que são três lados e uma base. Logo,

$4.4\sqrt{3}$ = $16\sqrt{3}$

e) Por teorema de Pitágoras temos(vide o anexo):

$(\frac{l\sqrt{3}}{2})^{2}  = (\frac{l\sqrt{3}}{6})^{2} + h^{2}$

$h^{2} = (\frac{16.3}{4}) - (\frac{16.3}{36})$

$h^{2} = (\frac{16.3.9 - 16.3}{36})$

$h^{2} = (\frac{384}{36})$

$h^{2} = (\frac{128}{12})$

$h = (\sqrt{\frac{128}{12}})$

$h = (\frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}})$

Substituímos na fórmula do volume e temos:

V = $(\frac{4\sqrt{3}.(\frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}})}{3})$

V = $(\frac{24\sqrt{6}}{6\sqrt{3}})$ =

V = $(\frac{24\sqrt{6}}{6\sqrt{3}})$ x $(\frac{6\sqrt{3}}{6\sqrt{3}})$

V = $(\frac{4\sqrt{18}}{3})$

V = $4\sqrt{2}$

Volume é igual a 4√2 cm³.