Question

Uma pirâmide triangular regular tem 72√3 cm³ de volume e altura de 6cm. Calcule a medida da aresta da base:​

Answer 1

Logo a medida da resta da base mede 12 cm.

Uma pirâmides reta que tem tem como base um polígono regular é chamada de pirâmide regular.

Quando uma pirâmide é regular, a altura “cai” no centro do polígono da base, caso contrário a pirâmide é oblíqua.

As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles e a

altura de qualquer um desses triângulos (faces laterais) é o apótema da pirâmide.

Figura em anexo:

Uma pirâmide regular, tem todas as faces laterais congruentes,  sua área lateral $\textstyle \sf A_{\ell}$, podemos calcular a área de uma face lateral $\textstyle \sf A_{\sf \:faces}$ e multiplicar pelo número de faces laterais n.

$\boxed{ \displaystyle \sf A_{\ell} = n \cdot A_{\sf \: faces} }$

A área total  de uma pirâmide qualquer é a soma das áreas de todas as mais a base.

$\boxed{ \displaystyle \sf A_{\sf \: total} = A_{\sf \: {lateral} } + A_{\sf \: base} }$

O volume de qualquer pirâmide é um terço do produto da área de sua base pela medida se sua altura.

$\boxed{ \displaystyle \sf V = \dfrac{1}{3} \cdot A_{\sf \: base} \cdot h }$

Dados enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf V = 72\sqrt{3} \: cm^3\\ \sf h = 6\: cm\\\sf \ell =\:?\: cm \end{cases}$

Substituindo os dados do enunciado na expressão do volume, temos:

$\displaystyle \sf V = \dfrac{1}{3} \cdot A_{\sf \: base} \cdot h$

$\displaystyle \sf 72\cdot \sqrt{2} = \dfrac{1} { \diagup\!\!\!{ 3} } \cdot A_{\sf \: base} \cdot \diagup\!\!\!{ 6}\;^2$

$\displaystyle \sf 2 \cdot A_{\sf base} = 72 \cdot \sqrt{3}$

$\displaystyle \sf A_{\sf bse} = \dfrac{72 \cdot \sqrt{3} }{2}$

$\displaystyle \sf A_{\sf base} = 36 \cdot \sqrt{3}$

Quando a base da pirâmide for um triângulo equilátero, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo equilátero para calcular a área da base.

$\displaystyle \sf A_{\sf \: base} = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3} }{4}$

Voltando à anterior, temos:

$\displaystyle \sf \dfrac{a^2 \cdot \diagup\!\!\!{ \sqrt{3} }}{4} = \dfrac{72 \cdot \diagup\!\!\!{ \sqrt{3} }}{2}$

$\displaystyle \sf \dfrac{a^2}{4} = 36$

$\displaystyle \sf a^2 = 36 \cdot 4$

$\displaystyle \sf a = \sqrt{144}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = 12 \: cm }}}$

Aresta da base é qualquer um dos lados do polígono da base.

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