Uma pirâmide regular hexagonal com 8 cm de altura e a aresta da sua base mede 4 raiz de 3.Qual é a área lateral dessa pirâmide?
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uma pirâmide regular hexagonal tem 8 centímetros de altura e a aresta de sua base mede 4 raiz de 3 centímetro
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A área total (At) da figura é igual a área da base (Ab) + toda a área lateral (Al), ou seja, At= Ab+Al.
Portanto, devemos lembrar que, a área da base, por ser um hexágono, pode ser subtendida como 6 vezes a área de um triangulo equilátero que é calculada por A=L√3/2 (onde L é o lado do triangulo equilátero (4√3 cm). Calculando, temos:
A=L√3/2
A= 4√3 . √3/2
A= 4 . 3 /2
A= 12/2
A= 6 cm²
Mas, isso é equivalente a somente um triangulo equilatero que forma o hexagono. Então, devemos multiplicar o resultado por 6:
Ab=6.6 = 36 cm² --> Guarde esse resultado
Agora devemos calcular a área dos triângulos da lateral, que novamente, no final, deverão ser multiplicado por 6.
Antes de calcularmos, devemos encontrar alguns valores. Imagine somente um triangulo da lateral. De informações sobre ele, só temos a base. Por outro lado, a altura que ele nos fornece no enunciado, nós abre a possibilidade de encontrarmos o lado desse triangulo da lateral.
Imaginando agora a piramide inteira, tente imaginar "dentro" dela a altura, que parte do vértice da pirâmide e vai até o centro da base. Depois, se você ligar o centro da base até a extremidade (vértice) da base, forma-se um triangulo retângulo. A partir daí, pode -se encontrar, através de pitágoras o lado do triangulo da lateral (que irei chamar de X):
x²=8² + (4√3)² --> 4√³ é o lado do hexágono e, consequentemente, o lado dos triangulos equilateros que formam o hexágono.
x²=64 + 16 . 3
x²= 64 + 48
x²= 192
x=√192 --> fatorando:
x=8√3cm.
Pronto, encontrando o lado do triangulo, podemos achar sua altura e, então sua área:
fazendo tambem por pitágoras:
(8√3)² = h² + (4√3 / 2)²
64.3 = h² +(16 . 3/4)
192 = h² + 12
192-12= h²
h= √180 --> fatorando
h= 6√5
Agora, calcula a área de um desses triangulos da lateral:
A= b.h/2
A= 4√3 . 6√5/2
A= 24 √15/2
A=12√15
Multiplicando por 6:
Al=12√15 . 6
Al= 72√15
portanto:
At= 36 + 72√15 --> simplificando
At = 36 (1 + 2√15)