Question

uma piramide quadrangular tem todas as arestas de mesma medida. A soma das medidas de todas as arestas e 48cm. Ache a área total da piramide.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{96 cm^2}}$

Explicação passo-a-passo:

Uma pirâmide quadrangular possui 8 VÉRTICES e 6 FACES. Encontremos a quantidade de ARESTAS aplicando a Relação de Euler. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{V - A + F = 2} \\\\ \mathsf{8 - A + 6 = 2} \\\\ \mathsf{14 - 2 = A} \\\\ \boxed{\mathsf{A = 12}}$

Por conseguinte, temos que todas as arestas são congruentes e sua soma vale 48cm. Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{A + A + A + ... + A + A = 48} \\\\ \mathsf{12A = 48} \\\\ \boxed{\mathsf{A = 4 \ cm}}$

Por fim, a área total é dada por:

$\\ \displaystyle \mathsf{S_t = 2 \cdot S_b + 4 \cdot S_l} \\\\ \mathsf{S_t = 2 \cdot (A \cdot A) + 4 \cdot (A \cdot A)} \\\\ \mathsf{S_t = 2A^2 + 4A^2} \\\\ \mathsf{S_t = 6A^2} \\\\ \mathsf{S_t = 6 \cdot (4)^2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_t = 96 \ cm^2}}}$