Uma pirâmide quadrangular regular é seccionada por um plano paralelo à sua base, de modo que esse plano está distante da base da pirâmide igual à metade da altura da pirâmide. A razão entre os volumes do tronco da pirâmide obtido pelo corte e o volume total da pirâmide é:
A) 1/2
B) 2/3
C) 4/9
D) 7/8
Soluções para a tarefa
Resposta: D) 7/8
Explicação passo-a-passo:
Temos que o volume de uma pirâmide regular de base quadrada é dado pela equação
V1 = b * h / 3
sendo b a base formada pelo quadrado das arestas p
Portanto, ao reduzir pela metade a altura da pirâmide, analisando pelo Teorema de Tales, temos que a área da nova base também é reduzida, tendo em vista que pelas proporções do grande triângulo retângulo que sai do topo da pirâmide até o centro da base e vai até a mediatriz de uma das arestas da base,
h/ h/2 = p/2 / x
h * 2/h = p/2 * 1/x
2 = p/2x
x = p/4
Ou seja, as arestas do quadrado da base superior do tronco medem p/2 e portanto a área mede
p/2 * p/2 = p²/4
Ou seja, a área foi reduzida à quarta parte.
Portanto, o volume da nova "mini-pirâmde" será de
V2 = (b/4 * h/2) / 3
V2 = 1/8 * (b * h / 3)
V2 = 1/8 * V1
Sendo V2 a oitava parte de V1 então o volume V3 do tronco é de 7/8 * V1
Portanto, a razão entre os volume do tronco e o volume total são de
V3/V1
7/8 * V1 / V1
7/8
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Bons estudos.