Question

uma pirâmide hexganal regular foi seccionada por um plano paralelo à base e a pirâmide , obtidos após a seção , possuissem a mesma altura. determine , em função de a:
a)a área da base da pirâmide
b)o volume da pirâmide
c) o volume do tronco da pirâmide

Answer 1

$A \ \'area \ da \ base \ \'e \ um \ hex\'agono \ regular \ de \ lado \ \rightarrow \ \boxed{a}.$

$Ao \ ligarmos \ os \ 6 \ v\'ertices \ ao \ centro \ do \ hex\'agono \ regular, \ \\ obtemos \ \^angulos \ internos \ de \ \frac{360^\circ}{6} \ = \ 60^\circ.$

$Logo, \ temos \ 6 \ \Delta \ equil\'ateros \ no \ hex\'agono \ regular \ de \ lado \ l.$

$A \ \'area \ fica : \\ \\ A_{(hex)} \ = \ 6 \ \cdot  \ A_{(\Delta eq)} \\ \\ A_{(hex)} \ = \ 6 \ \cdot  \frac{l^2 \ \cdot  \ \sqrt{3}}{4} \\ \\ A_{(hex)} \ = \ \frac{3 \ \cdot  \ l^2 \ \cdot  \ \sqrt{3}}{2}$

$Sendo \ o \ lado \ = \ 'a' : \\ \\ \boxed{\boxed{ A_{(hex)} \ = \ \frac{3 \ \cdot  \ a^2 \ \cdot  \ \sqrt{3}}{2}}} \ \Rightarrow \ \'Area \ da \ base \ dessa \ pir\^amide !$

$V_{(pir)} \ = \ \frac{Ab_{(pir)} \ \cdot \ H_{(pir)}}{3} \\ \\ Sendo \ \Rightarrow \ \\ \\ \'Area \ da \ base \ Ab \ \rightarrow \ A_{(hex)} \ = \ \frac{3 \ \cdot \ a^2 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2}; \\ \\ Altura \ da \ pir\^amide \ H_{(pir)} \ = \ 2 \ \cdot \ a...$

$V_{(pir)} \ = \ \frac{\frac{\not{3} \ \cdot \ a^2 \ \cdot \ \sqrt{3}}{\not{2}} \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ a}{\not{3}} \\ \\ \boxed{\boxed{V_{(pir)} \ = \ a^3 \ \cdot \ \sqrt{3}}} \ \Rightarrow \ Volume \ dessa \ pir\^amide !$

$Existe \ uma \ f\'ormula \ para \ troncos \ de \ pir\^amide \ e \ de \ cone, \ mas \ eu \\ prefiro \ do \ 'jeito \ pr\'atico'.$

$Observe \ que \ a \ sec\c{c}\~ao \ corta \ a \ pir\^amide \ em \ dois \ s\'olidos : \\ um \ tronco \ e \ uma \ pir\^amide \ menor.$

$A \ pir\^amide \ menor \ tem \ metade \ da \ altura \ (a) \ e \ \'e \ semelhante \ \`a \\ original. \\ \\ Perceba \ que \ altura \ \'e \ uma \ medida \ em \ uma \ dimens\~ao \ e \ volume \ tem \\ dimens\~ao \ c\'ubica. \ Ou \ seja, \ ao \ aplicarmos \ a \ raz\~ao \ de \ semelhan\c{c}a \ \rightarrow$

$(\frac{H_{(menor)}}{H_{(original)}})^3 \ = \ \frac{V_{(menor)}}{V_{(original)}} \\ \\ Sendo \ \Rightarrow \\ \\ H_{(menor) \ = \ a; \\ H_{(original) \ = \ 2 \ \cdot \ a...$

$(\frac{\not{a}}{2 \ \cdot \ \not{a}})^3 \ = \ \frac{V_{(menor)}}{V_{(original)}} \\ \\ \frac{1}{8} \ = \ \frac{V_{(menor)}}{V_{(original)}} \\ \\ V_{(menor)} \ = \ \frac{V_{(original)}}{8}$

$O \ volume \ do \ tronco \ V_{(tronco)} \ \'e \ \rightarrow \\ \\ V_{(tronco)} \ = \ {V_{(original)} \ - \ V_{(menor)}$

$V_{(tronco)} \ = \ {V_{(original)} \ - \ \frac{V_{(original)}}{8}$

$V_{(tronco)} \ = \ \frac{7 \ \cdot \ V_{(original)}}{8} \\ \\ \boxed{\boxed{V_{(tronco)} \ = \ \frac{7 \ \cdot \ a^3 \ \cdot \ \sqrt{3}}{8}}} \ \Rightarrow \ Volume \ do \ tronco \ de \ pir\^amide !$