Uma pirâmide de base quadrada é cortada por um plano paralelo à base. Sabe-se que a área da secção plana é igual a um terço da área da base. Sendo V1 o volume da pirâmide maior e V2 o volume da pirâmide menor, calcule V1/ V2
Soluções para a tarefa
V = Ab × h ÷ 3 [1]
As duas pirâmides que foram originadas pela seção plana feita paralelamente à base da primeira delas, são semelhantes, sendo o seu centro de semelhança o vértice principal, que é comum às duas.
Como as duas bases são quadrados, as áreas de suas bases são resultado do quadrado das arestas das bases:
Ab = a²
Se chamarmos de Ab1 à base da pirâmide original e de Ab2 a área da pirâmide resultante da seção, teremos:
Ab2/Ab1 = 1/3
Exemplificando:
Suponhamos que a área da base da pirâmide original seja igual a 9 cm². A área da segunda pirâmide será igual a 1/3 da área da primeira:
Ab1 = 9 cm²
Ab2 = 9 × 1/3 = 3 cm²
As arestas dos quadrados que resultam nesta área são, respectivamente:
Ab1 = a1²
a1² = 9 cm²
a1 = √9
a1 = 3 cm, aresta da base do primeiro quadrado
Ab2 = a2²
a2² = 3 cm²
a2 = √3
a2 = 1,732 cm, aresta da base do segundo quadrado
Como já foi dito, as duas pirâmides são semelhantes, e os demais elementos delas também mantém a mesma proporção de semelhança que existe entre as arestas da base, como as suas alturas.
Exemplificando, se a altura da primeira pirâmide for igual a 6 cm, a altura da segunda será aquela obtida através da proporção estabelecida pelas arestas da base:
a1/a2 = h1/h2
3 cm/1,732 cm = 6 cm/h2 cm
Multiplicando os meios pelos extremos, obtemos:
3 × h2 = 1,732 × 6
h2 = 10,392 ÷ 3
h2 = 3,464 cm, altura da segunda pirâmide, obtida pela seção
Os volumes (V1 e V2) obtidos para estas pirâmides, substituindo os dados obtidos para estes exemplos em [1], serão:
V1 = 9 cm² × 6 cm ÷ 3
V1 = 18 cm³
V2 = 3 cm² × 3,464 cm ÷ 3
V2 = 3,464 cm³
Assim, a razão entre os volumes é igual a:
V1/V2 = 18/3,464
V1/V2 = 5,196 = 3 × √3 = 3 × 1,732
Fazendo o mesmo raciocínio com os valores de V1 e V2 expressos em função de Ab e h:
V1/V2 = 9/3 × 6/3,464 × 3/3
V1/V2 = 3 × 1,732
Usando agora os valores literais para V1 e V2:
V1/V2 = Ab1/Ab2 × h1/h2 × 3/3
V1/V2 = 9 cm²/3 cm² × 6 cm/3,464 cm × 1
V1/V2 = 3 × 1,732
V1/V2 = 3 × √3
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Estarei respondendo de maneira bastante simples.
Para fazer essa questão é necessário usar proporção. Como as duas pirâmides são proporcionais, podemos usar uma constante de proporção, que eu chamarei de K
Temos que A1\3=A2
A1/A2=3/1
A proporção entre essas áreas é de 3 para 1. Como área é uma unidade ao quadrado, então para achar K devo fazer K²=3/1
K=√3. Ele pede a razão entre os volumes V1 e V2. Para isso, usarei K, a constante de proporção entre essas duas pirâmides. Como volume é uma unidade cúbica, ou seja, que é elevada a 3, devo fazer k³. k=√3
k³= √3.√3.√3
k=3√3.
A proporção entre os volumes é de 3√3. Isso significa que o volume maior V1 será 3√3 vezes maior que o volume V2
Então V1=3√3.V2
Passa o V2 dividindo
V1/V2=3√3