Question

- Uma PG crescente possui três termos, a soma destes termos vale 13 e o produto entre eles vale 27.
Determine os três termos dessa PG.

Answer 1

Os três termos dessa PG sã 1, 3 e 9.

Vamos considerar que os três termos da progressão geométrica são x, y e z.

O termo geral de uma progressão geométrica é definido por $a_n=a_1.q^{n-1}$, sendo:

• a₁ = primeiro termo;
• q = razão
• n = quantidade de termos.

Então, podemos dizer que a P.G. é $(x,x.q,x.q^2)$.

De acordo com o enunciado, a soma desses três termos é igual a 13, ou seja:

$x+x.q+x.q^2=13\\x(1+q+q^2)=13$.

Além disso, o produto entre eles vale 27. Então:

$x.x.q.x.q^2=27\\x^3.q^3=27\\(x.q)^3=27\\x.q=\sqrt[3]{27} \\x.q=3\\q=\frac{3}{x}$.

Substituindo o valor de q na equação $x(1+q+q^2)=13$, obtemos o valor de x:

$x(1+3+3^2)=13\\x(4+9)=13\\x.13=13\\x=1$.

Consequentemente, a razão dessa progressão geométrica é $q=\frac{3}{1}=3$.

Portanto, temos a sequência (1, 3, 9).

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Answer 2

O primeiro termo é igual 1, o segundo termo é igual a 3, e o terceiro termo é igual 9.

Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é uma progressão geométrica.

O que é uma progressão geométrica?

Uma PG é uma sequência numérica onde a razão entre dois números em sequência é sempre a mesma e é denominada razão da PG. Assim, podemos obter o próximo elemento na sequência multiplicando o elemento atual por essa razão, ou obter o elemento anterior ao dividir o elemento atual por essa razão.

Com isso, foi informado que para três elementos em sequência em uma PG, a sua soma vale 13 e a sua multiplicação vale 27.

Assim, supondo que o primeiro termo seja x, e que a razão da PG seja r, temos que o próximo termo é igual a xr, enquanto o terceiro termo na sequência é igual a xr².

Então, temos que x + xr + xr² = 13, e que x*xr*xr² = 27.

Com isso, a partir da primeira equação, podemos colocar x em evidência, obtendo x(1 + r + r²) = 13.

A partir da segunda equação, realizando a multiplicação dos termos, obtemos que x³*r³ = 27, ou (xr)³ = 27. Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados, temos que xr = ∛27, ou xr = 3. Portanto, r = 3/x.

Substituindo o valor de r na primeira equação, obtemos que x(1 + 3/x + (3/x)²) = 13. Com isso, x + 3 + 9/x = 13. Multiplicando todos os termos por x, obtemos a equação quadrática x² + 3x + 9 = 13x. Agrupando os termos, obtemos x² - 10x + 9 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara, com os coeficientes a = 1, b = -10, c = 9, obtemos que os valores de x que satisfazem a equação são x = 1 e x = 9.

Como r = 3/x, temos que os valores possíveis de r são r = 3/9 = 1/3 e r = 3/1. Como a PG é crescente, devemos desconsiderar o valor de r menor que 1, obtendo que a razão r da PG é r = 3.

Então, obtemos que o primeiro termo da PG é x = 1, que o segundo termo é igual a x*r = 1*3 = 3, e que o terceiro termo é igual a x*r² = 1*3² = 1*9 = 9.

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