Question

Uma pessoa retirou um montante de R$39.500,00 proveniente de uma aplicação.

a) Qual foi a taxa de juros para proporcionar esse montante, se ficou aplicado pelo prazo de 16 meses e teve um rendimento de R$5200,00, no regime de juros simples?

b) Quanto foi aplicado durante 13 meses a juros simples de 17%a.s. para produzir esse montante?

c) Se foi aplicado R$31.450,00 a juros compostos de 5,25%a.t., qual foi o prazo dessa operação?​

Answer 1

Item a):

Para o item a) temos os seguintes dados:

$\begin{cases}\sf{Montante (M) = 39500,00}\\ \sf Capital (C) = ? \\ \sf Taxa (i) =?\\ \sf Tempo (t) = 16 \: meses \sf \\ \sf Juros(J ) = 5200,00\end{cases}$

O item quer saber qual a taxa de aplicação de um certo valor a um tempo de 16 meses e com um rendimento de 5200,00. Esse rendimento corresponde aos juros, com esse dado podemos achar o capital através da relação do montante:

$\sf{M = C + J } \\ \sf 39500,00 = C + 5200 \\ \sf 39500 - 5200 = C \\ \sf{C = 34300 }$

Tendo o capital, é só substituir na fórmula dos juros simples e achar a taxa.

$\sf J = c . i . t \\ \\ \sf 5200= 34300. i . 16 \\ \\ \sf 5200 = 548800.i \\ \\ \sf i = \frac{5200}{548800} \\ \\ \boxed{ \sf i \approx 0,009475 \: \: ou \: \: 0,9475\%}$

Essa é a taxa, note que eu aproximei um pouco ↑.

Item b):

No item b) devemos descobrir o valor que foi aplicado a um tempo de 13 meses a uma taxa de 17%a.s, esse valor de aplicação será o capital. Temos os seguintes dados:

$\begin{cases}\sf{Montante (M) = 39500,00}\\ \sf Capital (C) = ? \\ \sf Taxa (i) =17 \%a.s\\ \sf Tempo (t) = 13\: meses \sf \\ \sf Juros(J ) = 5200,00\end{cases}$

Note que a unidade da taxa é diferente da unidade do tempo, então para prosseguir o cálculo teremos que fazer a conversão de uma unidade pra outra ou vice versa. Transformarei meses em semestres.

$\sf 1 \: semestre \: - - \: 12 \:meses\\ \sf{x \: semestres} - - 13\: meses \\ \\ \sf 12.x = 13.1 \\ \sf x = \frac{13}{12} \: semestre$

Agora sim, podemos substituir na fórmula dos juros simples:

$\sf J = c . i . t \\ \\ \sf5200 = c \: . \: 17 \%. \frac{13}{12} \\ \\ \sf 5200 = c.0,17. \frac{13}{12} \\ \\ \sf 5200 = c.\frac{2,21}{12} \\ \\ \sf c = \frac{5200}{ \frac{2 ,21}{12} } \\ \\ \sf c = \frac{5200}{1} . \frac{12}{2,21 } \\ \\ \sf c = \frac{62400}{2,21} \\ \\ \boxed{\sf c \approx 28,235}$

Esse foi o valor de aplicação.

Item c)

Nesse item, temos alguns novos dados:

$\begin{cases}\sf{Montante (M) = 39500,00}\\ \sf Capital (C) = 31450,00\\ \sf Taxa (i) =5,25 \%a.t\\ \sf Tempo (t) = ? \sf \end{cases}$

Agora vamos substituir na fórmula dos juros compostos:

$\sf{M = C.(1 + i) {}^{t} } \\ \\ \sf 39500= 31450.(1 + 5,25 \%) {}^{t} \\ \\ \sf \frac{39500}{31450} = (1 + 0,0525) {}^{t} \\ \\ \sf 1,255 = (1,0525) {}^{t}$

Agora vamos aplicar log dos dois lados:

$\log1,255 = \log (1,0525 ){}^{t}$

Aplicando a propriedade de log de trazer o expoente para a frente do log.

$\sf log \: 1,255 = t. log1,0525 \\ \sf t = \frac{ log1, 255}{ log1,0525} \\ \boxed {\sf t \approx 4,45 \: trimestres}$