Question

uma pessoa realizou uma compra que foi financiada em três parcelas mensais e iguais a r$ 350,00, o financiamento foi realizado sob a taxa de 48% a.a. determine o valor da compra.? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Regime de juros compostos

Temos um caso que podemos resolver como série uniforme de capitais. O primeiro passo é transformar a taxa nominal em taxa efetiva, onde podemos apenas dividir 48% por 12 (tornando a porcentagem dos juros algo palpável).

Para fazer a transformação usamos a seguinte igualdade:

$\mathtt{(1+i_a)=(1+i_m)^{12}}\\\\ \mathtt{\sqrt[12]{1+i_a}=i_m+1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}$

Calculando a taxa, com 48% = 0,48. Devemos usar uma calculadora.

$\mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+0,48}-1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1,48}-1}\\\\ \mathtt{i_m=1,0332097036...-1}\\\\ \mathtt{i_m=0,0332097036}$

Usarei 0,0332 como a taxa mensal.

Esse caso refere-se a pagamentos posteriores a data focal (pois os pagamentos começam após a compra). Assim, iremos usar a igualdade:

$\mathtt{PV=P\times\left[\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\times i}\right]}$

PV representa o valor inicial (o valor da compra), P o valor das parcelas (350,00), i a taxa (0,0332) e n o número de parcelas (3).

Precisaremos de uma calculadora.

$\mathtt{PV=P\times\left[\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\times i}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{(1+0,0332)^3-1}{(1+0,0332)^3\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{(1,0332)^3-1}{(1,0332)^3\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{1,1029433144...-1}{1,1029433144...\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{0,1029433144...}{0,0366177180...}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times2,8112979150...}\\\\ \mathtt{PV=983,9542702354...\approx983,95}$

Esse o resultado para o regime de juros compostos. Segue outra resolução.

Regime de juros simples

Temos um caso de equivalência de capitais a juros simples. O primeiro passo é transformar a taxa nominal em taxa efetiva, onde podemos apenas dividir 48% por 12 (tornando a porcentagem dos juros algo palpável).

$\mathtt{\dfrac{48\%}{12}=\underline{\mathtt{4\%}}\rightarrow\dfrac{4}{100}=\underline{\mathtt{0,04}}}$

Esse caso refere-se a pagamentos posteriores a data focal (pois os pagamentos começam após a compra). Assim, iremos usar a igualdade:

$\mathtt{V=N\left(\dfrac{1}{1+i\times n_x}\right)}$

V representa o valor final da compra, N o valor das parcelas (350,00), i a taxa (0,04 a.m) e n o mês de referência da parcela. Iremos de desenvolver a fórmula com 3 frações, onde cada uma representa uma parcela.

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times n_x}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times n_1}+\dfrac{1}{1+0,04\times n_2}+\dfrac{1}{1+0,04\times n_3}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times1}+\dfrac{1}{1+0,04\times2}+\dfrac{1}{1+0,04\times3}\right)}$

Continuando...

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times1}+\dfrac{1}{1+0,04\times2}+\dfrac{1}{1+0,04\times3}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04}+\dfrac{1}{1+0,08}+\dfrac{1}{1+0,12}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1,04}+\dfrac{1}{1,08}+\dfrac{1}{1,12}\right)}$

É possível transformar todos os denominadores em fração com denominadores iguais a 100.

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{104}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{108}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{112}{100}\right)}\right)}$

Perceba a seguinte "propriedade":

$\mathtt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{y}\right)}=1\div\dfrac{x}{y}=1\times\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{x}}$

Continuando...

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{104}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{108}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{112}{100}\right)}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{100}{104}+\dfrac{100}{108}+\dfrac{100}{112}\right)}$

Usando uma espécime MMC, mas direto:

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{100\times(104\times108)+10\times(108\times112)+10\times(104\times112)}{104\times108\times112}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1.123.200+1.209.600+1.164.800}{1.257.984}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{3.497.600}{1.257.984}\right)^{:128}}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{27.325}{9.828}\right)}$

Continuando...

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{27.325}{9.828}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=\left(\dfrac{9.563.750}{9.828}\right)^{:14}}\\\\\\ \mathtt{V=\dfrac{683.125}{702}\approx973,1125356125...}$

Usando a calculadora é possível pulara maioria das partes mostradas acima.

$\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1,04}+\dfrac{1}{1,08}+\dfrac{1}{1,12}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(0,9615384615...+0,9259259259...+0,8928571429...\right)}\\\\ \mathtt{V=350\left(2,7803215303...\right)}\\\\ \mathtt{V=973,1125356125...}\\\\ \mathtt{V\approx973,11}$