Matemática, perguntado por mayarameligaov7lm6, 1 ano atrás

Uma pessoa realizou uma compra que foi financiada em três parcelas mensais e iguais a R$350,00, o financiamento foi realizado sob taxa de juros compostos de 48% a.a. Determine o valor da compra.
a) 700,00
b) 800,34
c) 900,00
d) 1.050,00
e) 973,11

Minha resposta foi 983,94. Foi o valor mais próximo a letra e).


mayarameligaov7lm6: Na questão só tem essas alternativas. Vou tentar fazer novamente. estou um pouco confusa porque fazemos de formas diferentes, mas vou tentar pela sua. obrigada pela ajuda. mesmo assim não bate com a alternativa.
mayarameligaov7lm6: eu usei a formula Ieq=(1+i) p/a -1 ..... achei 0,0332 a.m ...
Apcruz: i= 48% a.a = 0,48
Apcruz: ieq = 0,48 /12 = 0,04 a.m
Apcruz: c= 350/1+0,04*1 + 350/1,004*2 + 350/1+0,04*3
Apcruz: c= 336,53 + 324,07 + 312,50
Apcruz: c= 973,10
nettobmxov5wd8: juros compostos: Formula taxa equivalente ieq=(1+i)^p/a - 1 formula montante M=C(1+i)^n

Soluções para a tarefa

Respondido por GregorSamsa
172

Resposta: enunciado está incorreto, mas demonstro abaixo.

Explicação passo-a-passo:

Temos um caso que podemos resolver como série uniforme de capitais. O primeiro passo é transformar a taxa nominal em taxa efetiva, onde podemos apenas dividir 48% por 12 (tornando a porcentagem dos juros algo palpável).

Para fazer a transformação usamos a seguinte igualdade:

\mathtt{(1+i_a)=(1+i_m)^{12}}\\\\ \mathtt{\sqrt[12]{1+i_a}=i_m+1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}

Calculando a taxa, com 48% = 0,48. Devemos usar uma calculadora.

\mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+i_a}-1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1+0,48}-1}\\\\ \mathtt{i_m=\sqrt[12]{1,48}-1}\\\\ \mathtt{i_m=1,0332097036...-1}\\\\ \mathtt{i_m=0,0332097036}

Usarei 0,0332 como a taxa mensal.

Esse caso refere-se a pagamentos posteriores a data focal (pois os pagamentos começam após a compra). Assim, iremos usar a igualdade:

\mathtt{PV=P\times\left[\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\times i}\right]}

PV representa o valor inicial (o valor da compra), P o valor das parcelas (350,00), i a taxa (0,0332) e n o número de parcelas (3).

Precisaremos de uma calculadora.

\mathtt{PV=P\times\left[\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^n\times i}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{(1+0,0332)^3-1}{(1+0,0332)^3\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{(1,0332)^3-1}{(1,0332)^3\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{1,1029433144...-1}{1,1029433144...\times0,0332}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times\left[\dfrac{0,1029433144...}{0,0366177180...}\right]}\\\\\\ \mathtt{PV=350\times2,8112979150...}\\\\ \mathtt{PV=983,9542702354...\approx983,95}

Para chegar no resultado correto o regime de juros deveria ser simples. Segue a resolução.

Mesmo enunciado a juros simples

Temos um caso de equivalência de capitais a juros simples. O primeiro passo é transformar a taxa nominal em taxa efetiva, onde podemos apenas dividir 48% por 12 (tornando a porcentagem dos juros algo palpável).

\mathtt{\dfrac{48\%}{12}=\underline{\mathtt{4\%}}\rightarrow\dfrac{4}{100}=\underline{\mathtt{0,04}}}

Esse caso refere-se a pagamentos posteriores a data focal (pois os pagamentos começam após a compra). Assim, iremos usar a igualdade:

\mathtt{V=N\left(\dfrac{1}{1+i\times n_x}\right)}

V representa o valor final da compra, N o valor das parcelas (350,00), i a taxa (0,04 a.m) e n o mês de referência da parcela. Iremos de desenvolver a fórmula com 3 frações, onde cada uma representa uma parcela.

\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times n_x}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times n_1}+\dfrac{1}{1+0,04\times n_2}+\dfrac{1}{1+0,04\times n_3}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times1}+\dfrac{1}{1+0,04\times2}+\dfrac{1}{1+0,04\times3}\right)}

Continuando...

\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04\times1}+\dfrac{1}{1+0,04\times2}+\dfrac{1}{1+0,04\times3}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1+0,04}+\dfrac{1}{1+0,08}+\dfrac{1}{1+0,12}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1,04}+\dfrac{1}{1,08}+\dfrac{1}{1,12}\right)}

É possível transformar todos os denominadores em fração com denominadores iguais a 100.

\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{104}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{108}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{112}{100}\right)}\right)}

Perceba a seguinte "propriedade":

\mathtt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{y}\right)}=1\div\dfrac{x}{y}=1\times\dfrac{y}{x}=\dfrac{y}{x}}

Continuando...

\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{104}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{108}{100}\right)}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{112}{100}\right)}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{100}{104}+\dfrac{100}{108}+\dfrac{100}{112}\right)}

Usando uma espécime MMC, mas direto:

\mathtt{V=350\left(\dfrac{100\times(104\times108)+10\times(108\times112)+10\times(104\times112)}{104\times108\times112}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{1.123.200+1.209.600+1.164.800}{1.257.984}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{3.497.600}{1.257.984}\right)^{:128}}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(\dfrac{27.325}{9.828}\right)}

Continuando...

\mathtt{V=350\left(\dfrac{27.325}{9.828}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=\left(\dfrac{9.563.750}{9.828}\right)^{:14}}\\\\\\ \mathtt{V=\dfrac{683.125}{702}\approx973,1125356125...}

Letra E.

Usando a calculadora é possível pulara maioria das partes mostradas acima.

\mathtt{V=350\left(\dfrac{1}{1,04}+\dfrac{1}{1,08}+\dfrac{1}{1,12}\right)}\\\\\\ \mathtt{V=350\left(0,9615384615...+0,9259259259...+0,8928571429...\right)}\\\\ \mathtt{V=350\left(2,7803215303...\right)}\\\\ \mathtt{V=973,1125356125...}\\\\ \mathtt{V\approx973,11}

Respondido por leidiaw
1

Resposta:

913,11

Explicação passo a passo:

Corrigido pelo AVA

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