Question

uma pessoa no chão, alinhado com dois postes de tal forma que os pontos A,B e C da figura sejam colineares, observa os tipos dos postes sob ângulos de 30° e 60° em relação ao solo.

se a distancia entre os postes é de 40 metros, qual a distancia do observador ao poste 2?

A) 20m
B) 40m
C) 20√3m
D) 40√3m
E) $\frac{40√3}{3}m$

Answer 1

Note que os postes possuem altura iguais, chamaremos de "h".

Temos dois triângulos retângulos, sendo um formado pelo poste 1 e o segmento AC com ângulo de 30° em C. Já o outro é formado pelo poste 2 e o segmento BC com ângulo de 60° em C. Assim, temos que:


tg 30° = h / AC
h = AC * tag 30°

tg 60° = h / BC
h = BC * tg 60°

Temos duas equações para a altura "h" dos postes, vamos igualá-las

AC * tag 30° = BC * tg 60°

Note que AC é a soma dos segmento AB e BC. AB é a distância entre os poste que mede 40m e, por outro lado, BC é a distância da pessoa para o poste 2 que é o que queremos determinar. Vamos isolar BC na equação acima.

AC * tag 30° = BC * tg 60°
(AB + BC) * tg 30° = BC * tg 60°
AB * tg 30° + BC * tg 30° = BC * tg 60°
AB tg 30° = BC * tg  60° - BC * tg 30°
AB tg 30° = BC * (tg 60° - tg 30°)
AB * tg 30° / (tg 60° - tg 30°) = BC
40 * (√3 / 3) / (√3 - √3 / 3) = BC
(40√3 / 3) / (2√3 / 3) = BC
(40√3 / 3) * (3 / 2√3) = BC
120√3 / 6√3 = BC
20 = BC
BC = 20

Portanto, a distância entre a pessoa e o poste 2 é de 20 metros. Alternativa "A".