Question

Uma pessoa ira escolher dois numeros reais positivos A e B. Para a maioria das possiveis escolhas, o logaritmo decimal da soma dos dois numeros escolhidos nao será igual à soma de seus logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. A qual intervalo pertence o número r?

Answer 1

O enunciado diz log₁₀(A+B)≠log₁₀A+log₁₀B porem para A=4 e B=r tal igual se verificará log₁₀(A+B)=log₁₀A+log₁₀B, então: 

log₁₀(A+B)=log₁₀A+log₁₀B ⇒ log₁₀(4+r)=log₁₀4+log₁₀r ⇒ log₁₀(4+r)=log₁₀4r ∴ 

4+r=4r ⇒ 4r-r=4 ⇒ 3r=4 ⇒ r=4/3=1,333...

Portanto numero r está entre os intervalos de 1,3 até 1,4 

Answer 2

O número r deve ter o valor 4/3 para que a igualdade seja verdadeira.

O enunciado diz que a soma dos logaritmos de A e B é diferente do logaritmo da soma de A e B, ou seja:

log A + log B ≠ log (A + B)

Mas quando A = 4 e B = r, essa igualdade é verdadeira:

log 4 + log r = log (4 + r)

Existe uma propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, ou seja:

log (x.y) = log x + log y

Utilizando essa propriedade, temos:

log 4 + log r = log 4.r

log 4.r = log (4 + r)

4.r = 4 + r

3.r = 4

r = 4/3

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