Question

Uma pessoa foi encontrada morta às 6h da manhã e nesse momento a temperatura do corpo era de 26° C. Uma hora depois,a temperatura do corpo era de 20° C. A temperatura ambiente permaneceu constante e igual a 18°C. A equação a seguir
relaciona o tempo T(t) no instante t é: T(t) = TA + (Ti – TA) . $e^{-kt}$ , em que TA é a temperatura ambiente, Ti é a temperatura inicial e k é uma constante. Considerando que no momento da morte essa pessoa tinha uma temperatura de 37°C, há quanto tempo, aproximadamente, ela estava morta quando foi encontrada às 6h da manhã? (considere ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1)

resposta: 43 minutos

quero entender a resolução

Answer 1

•   instante em que a pessoa foi encontrada morta às 6 da manhã:   $\mathsf{t_0;}$

( $\mathsf{t_0}$ em minutos – é o tempo decorrido após a morte)


•   temperatura do corpo nesse instante:   $\mathsf{T(t_0)=26~^\circ C\qquad(i);}$

________

•   instante uma hora após o que a pessoa foi encontrada morta:   $\mathsf{t_1=t_0+60;}$

( 1 hora = 60 minutos )


•   temperatura do corpo nesse instante:

$\mathsf{T(t_1)=20~^\circ C;}\\\\ \mathsf{T(t_0+60)=20~^\circ C\qquad(ii);}$

________


•   temperatura ambiente (constante):   $\mathsf{T_A=18~^\circ C;}$


A lei da função que fornece a temperatura (em ° C) em função do tempo $\mathsf{t}$ minutos após a morte é dada por:

$\mathsf{T(t)=T_A+(T_i-T_A)\cdot e^{-kt}}\\\\ \mathsf{T(t)=18+(T_i-18)\cdot e^{-kt}\qquad(iii)}$


onde

$\mathsf{T_i=T(t)\big|_{t=0}}\\\\ \mathsf{T_i=T(0)}\\\\ \mathsf{T_i=T(0)=37~^\circ C;}$

(temperatura do corpo na hora da morte)


Então a lei da função fica

$\mathsf{T(t)=18+(37-18)\cdot e^{-kt}}\\\\ \mathsf{T(t)=18+19\,e^{-kt}\qquad(iv)}$

_____________


•   Para encontrar a constante k, substituímos as condições dadas na questão:

$\mathsf{T(t_0)=26}\\\\ \mathsf{18+19\,e^{-kt_0}=26}\\\\ \mathsf{19\,e^{-kt_0}=26-18}\\\\ \mathsf{19\,e^{-kt_0}=8\qquad(v)}$


$\mathsf{T(t_0+60)=20}\\\\ \mathsf{18+19\,e^{-k(t_0+60)}=20}\\\\ \mathsf{18+19\,e^{-kt_0-k\cdot 60}=20}\\\\ \mathsf{18+19\,e^{-kt_0}\cdot e^{-k\cdot 60}=20}\\\\ \mathsf{19\,e^{-kt_0}\cdot e^{-k\,\cdot\,60}=20-18}\\\\ \mathsf{19\,e^{-kt_0}\cdot e^{-k\,\cdot\,60}=2}\\\\ \mathsf{8\cdot e^{-k\,\cdot\,60}=2}\\\\ \mathsf{e^{-k\,\cdot\,60}=\dfrac{2}{8}}$

$\mathsf{e^{-k\,\cdot\,60}=\dfrac{1}{2^2}}\\\\\\ \mathsf{e^{-k\,\cdot\,60}=2^{-2}}$


Tomando logaritmos em ambos os lados,

$\mathsf{\ell n\big(e^{-k\,\cdot\,60}\big)=\ell n\big(2^{-2}\big)}\\\\ \mathsf{-k\cdot 60=-2\cdot \ell n\,2}\\\\ \mathsf{k=\dfrac{-2\cdot \ell n\,2}{-60}}\\\\\\ \mathsf{k=\dfrac{1}{30}\,\ell n\,2~~min^{-1}}\\\\\\ \mathsf{k\approx \dfrac{1}{30}\cdot 0,\!7}\\\\\\ \mathsf{k\approx \dfrac{7}{300}\approx 0,\!0233~~min^{-1}}\qquad\checkmark$


Voltando a $\mathsf{(v),}$ ficamos com

$\mathsf{19\,e^{-\frac{7}{300}\,t_0}=8}\\\\ \mathsf{19\,e^{-\frac{7}{300}\,t_0}=2^3}$


Tomando logaritmos em ambos os lados,

$\mathsf{\ell n\big(19\,e^{-\frac{7}{300}\,t_0}\big)=\ell n\big(2^3\big)}\\\\ \mathsf{\ell n\,19-\dfrac{7}{300}\,t_0=3\,\ell n\,2}\\\\\\ \mathsf{-\dfrac{7}{300}\,t_0=3\,\ell n\,2-\ell n\,19}\\\\\\ \mathsf{t_0=-\,\dfrac{300}{7}\,(3\,\ell n\,2-\ell n\,19)}$


Usando $\mathsf{\ell n\,19\approx 2,\!94}$ obtemos

$\mathsf{t_0\approx -\,\dfrac{300}{7}\,(3\cdot 0,\!7-2,\!94)} \\\\\\ \mathsf{t_0\approx -\,\dfrac{300}{7}\,(2,\!1-2,\!94)}\\\\\\ \mathsf{t_0\approx -\,\dfrac{300}{7}\cdot (-0,\!84)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t_0\approx 36~min} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Rever gabarito.


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