Question

– Uma pessoa ficou intrigada ao ver um relógio grande de parede marcar o mesmo horário que o seu pequeno relógio de pulso. Para ela, o relógio maior deveria demorar mais tempo para realizar uma volta completa que o relógio de pulso e, por isso, deveriam marcar horários diferentes. Explique por que os dois relógios marcavam a mesma hora, justificando sua resposta através dos conceitos de período, frequência, velocidade linear e angular.

Answer 1

Resposta:

Para que os dois relógios marquem a mesma hora, o período da oscilação completo de ambos deve ser igual: $T_{grande}=T_{pequeno}$. Por sua vez, o período é dado pelo inverso da frequência. Logo:

$\frac{1}{T_{grande}}=\frac{1}{T_{pequeno}} \\ \\f_{grande}=f_{pequeno}$

Torna-se evidente que as duas frequências devem ser iguais para que os relógios completem a mesma quantidade de voltas no mesmo tempo. Por sua vez, a frequência se relaciona com a frequência angular por $\omega=2\pi f$. Assim, $f=\frac{\omega}{2 \pi}$, e a equação anterior fica:

$\frac{\omega_{grande}}{2 \pi}=\frac{\omega_{pequeno}}{2 \pi}\\ \\\omega_{grande}=\omega_{pequeno}$

A velocidade linear $v$ se relaciona com $\omega$ e com o raio da trajetória $R$ pela equação $v=\omega R$. Logo: $\omega=\frac{v}{R}$. Assim, a equação anterior fica:

$\frac{v_{grande}}{R_{grande}}=\frac{v_{pequeno}}{R_{pequeno}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Portanto, percebe-se que a velocidade linear do ponteiro depende do raio da trajetória. no relógio de pulso, que possui menor raio, a velocidade linear do ponteiro é menor. No relógio grande, o raio é maior e, portanto, a velocidade linear do ponteiro é maior. Para que os relógios marquem a mesma hora, a relação exibida em (1) deve ser válida.