Question

Uma pessoa doente precisa ter no mínimo 16 mg no organismo de um certo medicamento para que o mesmo seja eficaz.

Answer 1

Olá!

Você esqueceu do restante do enunciado:

Uma pessoa doente precisa ter no mínimo 16 mg no organismo de um certo medicamento para que o mesmo seja  eficaz. Sabe-se que t horas depois de ministrados M0  mg deste medicamento, a quantidade residual em mg do mesmo é  dada pela equação

M(t) = M0  * $2^{-kt}$

Para um certo paciente, foram ministrados 512 mg deste medicamento às 8 horas  da manhã e, 6 horas depois verificou-se que a quantidade residual era 32 mg.  Para que o medicamento mantenha sua eficácia mínima, a nova dose deve ser ministrada, até no máximo, no seguinte horário:

(A)15 horas e 30 minutos;

(B) 15 horas e 45 minutos;

(C) 16 horas e 20 minutos;

(D)16 horas e 30 minutos;

(E) 16 horas e 40 minutos.

Vamos lá!

Temos como dados do enunciado:

-a pessoa precisa de 16 mg do medicamento no organismo;

-a quantidade inicial ministrada M0= 512 mg;

-a quantidade residual M(t) após 6 horas (t= 6 horas) era de 32 mg.

Primeiramente, vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar a incógnita "k" do expoente, que é um valor constante:

M(t) = M0  * $2^{-kt}$

32= 512 * $2^{-k6}$

$\frac{32}{512}$ =  $2^{-k6}$

$\frac{1}{16}$ =  $2^{-4}$

Então, deixamos tudo em base 2, para poder trabalhar apenas com os expoentes, da seguinte forma:

$\frac{1}{16}$= $2^{-4}$

$2^{-4}$=   $2^{-k6}$

Então, trabalhando com os expoentes:

-4= k * 6

k= $\frac{-4}{6}$

k= $\frac{-2}{3}$

Então, após encontrarmos o valor da constante k, utilizamos a fórmula, a partir do valor da dosagem mínima necessária, e t passa a ser nossa incógnita:

M(t) = M0  * $2^{-kt}$

16= 512 * $2^{-(-2/3) * t}$

$\frac{1}{32}$ = $2^{2/3 * t}$

Novamente, deixamos tudo em base 2, para poder trabalhar apenas com os expoentes:

$\frac{1}{32}$ = $2^{-5}$

$2^{-5}$ =  $2^{2/3 * t}$

-5 = 2/3 * t

t = 7, 5 horas, ou seja 7 horas e 30 minutos após o horário inicial.

8 horas da manhã + 7 horas e 30 minutos = 15 horas e 30 minutos.

Portanto, a alternativa correta é a letra A.