Matemática, perguntado por oResponded0r, 11 meses atrás

Uma pessoa decidiu começar a poupar dinheiro para realizar uma grande compra. Para economizar o equivalente ao preço da compra, sua estratégia foi todo mês adicionar um valor fixo mais o valor depositado no mês anterior. Sabendo que o primeiro depósito foi de 4 mil reais e o último de 67 mil reais e que, em algum mês, o valor depositado foi de 32 mil reais, o valor da compra foi de:

a) R$ 250.000,00
b) R$ 103.000,00
c) R$ 611.000,00
d) R$ 355.000,00
e) R$ 495.000,00

Soluções para a tarefa

Respondido por Gaper

♧ A resposta correta é a alternativa d) R$ 355.000,00.

De acordo com o enunciado, foi depositada no primeiro mês a quantia de R$ 4.000,00. Depois do primeiro mês, a quantia depositada seria igual a um valor fixo (x) mais a quantia depositada no mês anterior.

Mês 1: 4.000

Mês 2: (4.000) + x

Mês 3: (4.000 + x) + x

Podemos colocar esses depósitos em uma P.A (Progressão Aritmética), onde a razão é o valor fixo desconhecido.

Sabendo que o a₁ = 4.000, que o aₙ (último termo da P.A) é 67.000 e que o aₓ (um terceiro termo da P.A) é 32.000, podemos esboçar a progressão:

P.A. = (4.000, ... , 32.000, ..., 67.000)

Com base nos conceitos das progressões aritméticas, podemos montar duas equações para os termos aₙ e aₓ:

aₙ = a₁ + (n - 1) . r

aₓ = a₁ + (x - 1) . r

Substituindo os valores que sabemos, temos:

67.000 = 4.000 + (n - 1) . r ⇔ 63.000 = (n - 1) . r

32.000 = 4.000 + (x - 1) . r ⇔ 28.000 = (x - 1) . r

Podemos transformar 63.000 em 9 × 7.000, e 28.000 em 4 × 7.000. Vamos substituir esses valores nas equações:

9 × 7.000 = (n - 1) . r

4 × 7.000 = (x - 1) . r

Como é possível perceber, há uma relação entre 7.000 e r, que aparecem nas duas equações. Isso indica que a razão (r) da P.A = 7.000. Vamos substituir esse valor na primeira equação para achar o valor de n, ou seja, a duração em meses da economia realizada pelo indivíduo.

9 × 7.000 = (n - 1) × 7.000

9 = n - 1

n = 10 meses

Como o preço da compra é igual ao valor total economizado, ou seja, a soma de todos os depósitos, devemos achar a soma dos termos da P.A a partir da fórmula:

$\boxed{S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}$