Question

Uma pessoa arrumou sete peças idênticas, com formato de hexágonos regulares e lados medindo 2 cm, dentro de uma região circular, conforme mostrado na figura.


Calcule a medida do raio da região circular.
​

Answer 1

Resposta:

Raio da região circular: 2√7

Explicação passo-a-passo:

Para desenvolver a resposta devemos primeiro construir um triângulo inscrito nessa circunferência (em laranja na imagem em anexo) e descobrir a medida de seus lados (ver o rascunho azul na imagem). Em um dos seus lados (o da direita) é preciso usar a lei dos cossenos:

$x^{2}=8^{2}+10^{2}-2\cdot8\cdot10\cdot cos(60\textdegree)\\\\x=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$

Com esse lado descoberto, podemos usar o fato de que: a razão de um lado do triângulo inscrito à uma circunferência para o seno de seu ângulo oposto é sempre igual a o diâmetro da circunrerência (lei dos senos). Colocando isso em forma de equação temos (obs.: D é o diâmetro e R é o raio):

$\frac{2\sqrt{21}}{sen(60\textdegree)}=D=2R\\\\\frac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\\\\\frac{2\cdot 2 \sqrt{21}}{2\cdot \sqrt{3}}=R\\\\\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=R\\\\\frac{2 \cdot \sqrt{63}}{3}=R\\\\\therefore{}& R=2\sqrt{7}$