Question

Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% am, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% am e nos últimos 15 meses foi de 2,5% am, determine o valor final desse capital.

Answer 1

Suponhamos que um período de aplicação comece após o término do mês $k.$ Se ao final deste período de $t-k$ meses, a taxa de juros $i$ não muda, então o montante acumulado até o final do $t$-ésimo mês é dado por

$C(t)=C(k)\cdot (1+i)^{t-k}$

onde $C(k)$ é o valor acumulado até o início do período (até o $k$-ésimo mês).


Então, vamos analisar cada período onde a taxa não muda:

$\bullet\;\;i=2\%/\text{m\^{e}s}$ para $1\leq t \leq 10:$

$C_{0}=\text{R\ \;}50\,000,00$


Ao final do décimo mês, o montante acumulado é

$C(10)=C_{0}\cdot (1+i)^{10}\\ \\ C(10)=50\,000\cdot (1+0,02)^{10}\\ \\ C(10)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\\ \\ C(10)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\\ \\ C(10) \cong \text{R\ \;}60\,949,72$


$\bullet\;\;i=1,5\%/\text{m\^{e}s}$ para $10<t\leq 25:$

$C(10)=50\,000\cdot (1,02)^{10}$


Ao final do vigésimo-quinto mês, o montante acumulado é

$C(25)=C(10)\cdot (1+i)^{25-10}\\ \\ C(25)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1+0,015)^{15}\\ \\ C(25)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1,015)^{15}\\ \\ C(25)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1,015)^{15}\\ \\ C(25) \cong \text{R\ \;}76\,201,30$


$\bullet\;\;i=2,5\%/\text{m\^{e}s}$ para $25<t\leq 40:$

$C(25)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1,015)^{15}$


Ao final do quadragésimo mês, o montante acumulado é

$C(40)=C(25)\cdot (1+i)^{40-25}\\ \\ C(40)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1,015)^{15}\cdot (1+0,025)^{15}\\ \\ C(40)=50\,000\cdot (1,02)^{10}\cdot (1,015)^{15}\cdot (1,025)^{15}\\ \\ C(40)\cong \text{R\ \;}110\,362,20$


O valor final do capital é $\text{R\ \;}110\,362,20.$