Uma pesquisa realizada pela coordenação de um curso de graduação apontou que dos 20 alunos matriculados na turma da disciplina Português, 4 são estrangeiros. A coordenação ira promover a visita a um museu no Rio de Janeiro para 5 dos alunos matriculados na disciplina Português, que serão escolhidos aleatoriamente.
A) Quantos grupos distintos, com pelo menos 3 dos alunos estrangeiros, podem ser compostos para a viagem ?
B) Qual é a probabilidade de que nenhum dos alunos estrangeiros participe da viagem ?
Soluções para a tarefa
A)
São 5 alunos no grupo. Pelo menos 3 devem ser estrangeiros, o que significa que estamos procurando grupos com 3 estrangeiros ou 4 estrangeiros.
Se os 4 estrangeiros estiverem presentes no grupo, resta apenas uma vaga para os 16 estudantes restantes da turma. O grupo ficaria da seguinte forma: 4 estrangeiros + qualquer um dos 16 alunos restantes.
Desse modo, conclui-se que há 16 grupos possíveis com 4 alunos estrangeiros.
Se apenas 3 estrangeiros estiverem presentes, então serão 3 estrangeiros e 2 não estrangeiros. Nesse caso, primeiro precisamos determinar de quantas formas esses 3 estrangeiros podem ser escolhidos entre os 4 estrangeiros da turma:
C(4 3) = 4!/(3!(4 - 3)!) = 4!/(3!1!) = (4.3.2.1)/(3.2.1.1) = 4 formas
Também precisamos determinar de quantas formas esses 2 alunos não estrangeiros podem ser selecionados entre os 16 alunos restantes da turma:
C(16 2) = 16!/(2!(16 - 2)!) = 16!/(2!14!) = (16.15.14!)/(2.14!) = 16.15/2 = 120 formas
Assim, podemos concluir que há 4*120 = 480 grupos com exatamente três estrangeiros.
Logo, podemos formar 480 + 16 = 496 grupos com pelo menos 3 dos alunos sendo estrangeiros.
B)
A probabilidade de nenhum dos alunos estrangeiros participar da viagem será a razão entre o número de grupos sem estrangeiros e o número total de grupos:
p(nenhum estrangeiro) = número de grupos sem estrangeiros/número total de grupos
São 20 alunos e 5 integrantes, logo o número total de grupos que podemos formar com todos os alunos é:
C(20 5) = 20!(5!(20 - 5)!) = 20!/(5!15!) = (20.19.18.17.16.15!)/(5.4.3.2.15!) = (19.18.17.16)/(3.2) = 19.3.17.16 = 15504 grupos
Para que nenhum aluno estrangeiro participe da viagem, todos os 5 integrantes do grupo não podem ser estrangeiros. Como 16 alunos não são estrangeiros nessa turma, o número total de grupos sem estrangeiros será:
C(16 5) = 16!(5!(16 - 5)!) = 16!/(5!11!) = (16.15.14.13.12.11!)/(5.4.3.2.11!) = (16.14.13.12)/(4.2) = 2.14.13.12 = 4368 grupos
Logo, a probabilidade de que nenhum aluno estrangeiro participe da viagem é:
p(nenhum estrangeiro) = 4368/15504 = 91/323 (~28,2%)