Question

Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas, A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A, 48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 15%; nenhuma das três, 5%.

a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?

b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?​

Answer 1

É essencial para este tipo de questão a representação gráfica pelo diagrama de Venn (veja, anexo, um exemplo).

Note que o enunciado nos fornece dados "contaminados", "brutos" e, portanto, precisaremos fazer uma "limpeza".

Perceba que quando a questão fala "...A, 48%...", por exemplo, este dado não se refere as pessoas que APENAS consomem a marca A. Neste dado estão: Pessoas que Consomem APENAS A, pessoas que consomem AeB, que consomem AeC e pessoas que consomem AeBeC.

Algo semelhante acontece para os dados: "B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 15%".

Para "limpar" os dados vamos introduzir uma nova legenda, como sugere o diagrama anexo:

--> Apenas A: Pessoas que usam APENAS a marca A

--> Apenas B: Pessoas que usam APENAS a marca B

--> Apenas C: Pessoas que usam APENAS a marca C

--> Apenas AeB: Pessoas que usam APENAS as marcas AeB

--> Apenas AeC: Pessoas que usam APENAS as marcas AeC

--> Apenas BeC: Pessoas que usam APENAS as marcas BeC

Calculos (Note que, visualizando pelo diagrama, estaremos completando-o de dentro para fora):

$Apenas ~AeB~=~(AeB)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas ~AeB~=~18\%-(AeBeC)}\\\\\\Apenas ~AeC~=~(AeC)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas ~AeC~=~15\%-(AeBeC)}\\\\\\Apenas ~BeC~=~(BeC)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas ~BeC~=~25\%-(AeBeC)}$

$Apenas~A~=~A-(Apenas~AeB)-(Apenas~AeC)-(AeBeC)\\\\Apenas~A~=~48\%-(18\%-(AeBeC))-(15\%-(AeBeC))-(AeBeC)\\\\Apenas~A~=~48\%-33\%+2.(AeBeC)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas~A~=~15\%+(AeBeC)}\\\\\\Apenas~B~=~B-(Apenas~AeB)-(Apenas~BeC)-(AeBeC)\\\\Apenas~B~=~45\%-(18\%-(AeBeC))-(25\%-(AeBeC))-(AeBeC)\\\\Apenas~B~=~45\%-43\%+2.(AeBeC)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas~B~=~2\%+(AeBeC)}$

$Apenas~C~=~C-(Apenas~AeC)-(Apenas~BeC)-(AeBeC)\\\\Apenas~C~=~50\%-(15\%-(AeBeC))-(25\%-(AeBeC))-(AeBeC)\\\\Apenas~C~=~50\%-40\%+2.(AeBeC)-(AeBeC)\\\\\boxed{Apenas~C~=~10\%+(AeBeC)}$

Agora sim, temos dados que nos permitem responder os questionamentos.

a)

Perceba que até agora este dado ficou como uma incógnita nos calculos.

Precisamos, então, lembrar que a soma de TODAS pessoas que responderam a pesquisa deve resultar em 100%. Vamos equacionar isso:

$100\%~=~(Apenas~A)+(Apenas~B)+(Apenas~C)+(Apenas~AeB)+(Apenas~AeC)+(Apenas~BeC)+(AeBeC)+NENHUM\\\\\\100\%~=~15\%+2\%+10\%~+~18\%+15\%+25\%~+~4.(AeBeC)-3.(AeBeC)+5\%\\\\\\AeBeC~=~100\%-15\%-2\%-10\%-18\%-15\%-25\%-5\%\\\\\\\boxed{AeBeC~=~10\%}$

b)

Esta porcentagem será a soma de Apenas A com Apenas B e Apenas C, acompanhe:

$Apenas~1~das~marcas~=~Apenas~A+Apenas~B+Apenas~C\\\\\\Apenas~1~das~marcas~=~(15\%+10\%)+(2\%+10\%)+(10\%-10\%)\\\\\\Apenas~1~das~marcas~=~(25\%)+(12\%)+(20\%)\\\\\\\boxed{Apenas~1~das~marcas~=~57\%}$