Física, perguntado por adcfiefjcvm, 5 meses atrás

Uma pequena esfera de cobre, inicialmente a uma temperatura T1 = 30◦C, ´e colocada em um recipiente com água gelada em t = 0. Foi observado que a temperatura da esfera cai para 20◦C em t = 1 min. Usando a lei de Newton do resfriamento, determine a temperatura da esfera para t = 2 min. Considere a temperatura ambiente =12 ºC.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Fazendo os cálculos e usando a fórmula correta da lei de resfriamento de Newton, concluímos que a temperatura daquela esfera de cobre em um tempo de 2 minutos é igual a 15,56 °C.

O problema menciona que uma certa esfera de cobre está inicialmente a uma temperatura de 30°C e é colocada em um recipiente com água gelada em um tempo inicial de 0 minutos (ainda não há variação de temperatura), logo após um tempo observou-se que a temperatura da esfera caiu para 20°C em um tempo de 1 minuto. E nos pede usar a lei de resfriamento de Newton para calcular a temperatura quando o tempo varia 2 minutos e devemos saber como dados essenciais que a temperatura ambiente é igual a 12°C.

A lei de resfriamento de Newton, por definição, é dada pela seguinte equação diferencial:

$\rm{\bold{\dfrac{d T}{d t} = - k(T - T _ A)}}$

Esta equação diferencial (EDO) é uma das variáveis separáveis, portanto, se separarmos cada variável e a unirmos com seu respectivo diferencial, obteremos:

$\rm{\bold{\dfrac{d T}{(T - T _ A)} = - k dt}}$

Se quisermos resolver esta equação diferencial, simplesmente temos que integrar ambas as partes da equação.

$\displaystyle \rm{\bold{\int \dfrac{d T}{(T - T _ A)} = - \int k dt}}\\ \\ \\ \displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|T - T _ A\right |= - k t+ C}}$

Esta seria a solução da equação diferencial para a lei de resfriamento de Newton. Cada variável tem o seguinte nome:

$\bold{T _ A}$ : Temperatura ambiente, esta temperatura permanecerá constante durante todo o problema (já conhecemos esses dados).

$\bold{T }$ : Temperatura do corpo, essa temperatura sempre muda seu valor após um tempo suficiente (já conhecemos esses dados).

$\bold{k}$ : Constante de resfriamento, como o próprio nome diz, seu valor não mudará porque é uma constante (não conhecemos esses dados, mas podemos encontrá-los).

$\bold{t }$ : Tempo, esse valor sempre vai variar no problema (já sabemos seus valores).

$\bold{C}$ : Constante de integração, essa constante é fundamental para o problema e é obtida resolvendo a equação diferencial (não conhecemos esses dados, mas também podemos encontrá-los).

Primeiro vamos calcular o valor da constante de integração já que é o mais fácil de encontrar seu valor, para calcular o valor dessa constante basta substituir o valor do tempo desde o início e sua temperatura.

$\displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|30~^ o C - 12~^o C\right |= - k \cdot 0+ C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|18~^o C\right |= C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{2{,}89~^o C\approx C}}$

Como encontramos o valor da constante de integração agora segue o valor da constante de resfriamento, para encontrar seu valor vamos substituir a temperatura e o valor apenas 1 minuto.

$\displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|20~^ o C -12~^o C\right |= - k + 2{,}89~^o C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|8~^o C\right |= -k+2{,}90~^o C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{2{,}08~^o C-2{,}89~^o C\approx - k}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{0{,}81~^o C\approx k}}$

Com os valores de todas as constantes já podemos encontrar o valor da temperatura da esfera em um tempo de 2 minutos, se substituirmos nossos novos dados temos a equação:

$\displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|T -12~^o C\right |= -0{,}81~^o C\cdot (2)+ 2{,}89~^o C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{\ell n\left|T-12~^o C\right |= 1{,}27~^o C}}$

Para encontrar o valor da temperatura devemos eliminar o logaritmo natural com uma operação inversa, para eliminar o logaritmo natural usaremos a exponencial que seria a operação inversa.

Aplicamos as exponenciais em ambas as partes da equação:

$\displaystyle \rm{\bold{ e^{\ell n\left|T-12~^o C\right |}= e^{ 1{,}27~^o C}}}\\ \\ \displaystyle\rm{\bold{ T-12~^o C= e^{ 1{,}27~^o C}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{T= e^{ 1{,}27~^o C}+12~^ o C}}\\ \\ \displaystyle \rm{\bold{T\approx 3{,}56~^o C+12~^ o C}} \\ \\\green {\boxtimes~\boxed{\boxed{\displaystyle\bold{{ T\approx 15{,}56~^ o C}}~\checkmark}}}$