Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro
circular de raio R, situado em um plano vertical. O aro gira com
velocidade angular constante em torno de um diâmetro vertical (veja
a figura ao lado).
(a) Encontre o ângulo para o qual a conta está em equilíbrio vertical.
(É claro, no entanto, que ela possui uma aceleração radial orientada
para o eixo de rotação.)
(b) Faça um gráfico de cos versus . Qual é o problema com essa solução?
Fisicamente, para ≤ raiz de ⁄ a única solução aceitável é cos = 1. Por quê?
(c) Para > raiz de ⁄ , há duas soluções aceitáveis: cos = 1 e a solução que você encontrou no
item (a). Para > raiz de ⁄ , a solução cos = 1 é instável — se o sistema estiver neste estado e
for levemente perturbado, ou seja, se a conta for retirada um pouquinho da posição = 0, ela
dará um pulo em direção ao ângulo encontrado no item (a). Explique por que isso acontece.
Soluções para a tarefa
Para a), b) e c) respectivamente teremos: Cos 0 = g/w²R ; situação em que o aro gira com a conta na posição θ = 0 ; A diferença é grande que a conta tende a subir rapidamente.
Vamos aos dados/resoluções;
Em a) vemos que as forças estão atuando sobre a conta são: o peso mg e a normal N.
Logo, para equilíbrio na vertical teremos: N = cos θ = mg e para horizontal: n sen θ = mw²r = mw²R sen θ onde iremos substituir o raio do movimento circular é r = Sen 0, logo, N = mw² R que dará:
Cos θ = g/w²R.
Em b) a solução prediz que cos 0 > 1 quando w < √g/R. Porém isso não é amplamente permitido porque cos θ < 1. Porém, N = mg também é uma solução aceitável do nosso problema, logo, a conta permanece em 0 - 0 enquanto o aro gira, deixando na posição de θ = 0.
Em c) W > √g/R, há duas soluções aceitáveis cos θ = 1 e cos θ = g/w²R. A primeira é instável. Logo, a força centrípeta (quando w > √g/r e o ângulo θ pequeno, corresponde a uma força normal cuja componente vertical não é compensada pela força peso.
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)