Question

Uma pequena árvore de altura x está sustentada por
duas vigas de madeira, como mostra a figura a seguir. Determinar as medidas de x de y.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre trigonometria.

Observe que a altura da árvore, dada pela incógnita $x$ é o cateto oposto ao ângulo de $30^{\circ}$ no triângulo $\triangle{\text{ABD}}$ e cateto oposto ao ângulo de $60^{\circ}$ no triângulo $\triangle{\text{ABC}}$.

Sabendo que os triângulos $\triangle{\text{ABD}}$ e $\triangle{\text{ABC}}$ são retângulos, aplicamos a tangente dos ângulos: lembre-se que $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$.

$\begin{cases}\tan(60^{\circ})=\dfrac{x}{y}\\\\ \tan(30^{\circ})=\dfrac{x}{y+2}\\\end{cases}$ .

Sabendo que $\tan(60^{\circ})=\sqrt{3}$ e $\tan(30^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, teremos:

$\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\sqrt{3}\\\\ \dfrac{x}{y+2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\end{cases}$

Multiplique ambos os lados da primeira igualdade por um fator $y$ e da primeira igualdade por um fator $y+2,~y>0$.

$\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\\\ x=\dfrac{(y+2)\cdot\sqrt{3}}{3}\\\end{cases}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação na segunda igualdade

$x=\dfrac{y\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{3}$

Substituímos $y\sqrt{3}=x$ à direita da igualdade

$x=\dfrac{x+2\sqrt{3}}{3}$

Subtraia $\dfrac{x}{3}$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{2x}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\dfrac{2}{3}$

$x=\sqrt{3}$

Substituindo este resultado na primeira equação, temos:

$\sqrt{3}=y\sqrt{3}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\sqrt{3}$

$y=1$

Dessa forma, as medidas dos lados deste triângulo retângulo são $x=\sqrt{3}~\text{m}$ e $y=1~\text{m}$.