Question

Uma pequena árvore de altura h precisou, ao ser replantada, ser escorada por duas vigas retas de madeira, de comprimentos x e y, conforme a figura. O metro linear dessas vigas custou ao proprietário da árvore R$ 15,00. O custo da madeira para escorar essa árvore foi de: Dados: 3 = 1,72 e 2 = 1,41

Answer 1

Se ela precisou do h seria 3=213 e 2=12390213

Answer 2

Resposta:

R$ 81,90

Explicação passo a passo:

Não entendi muito bem a pergunta, por isso procurei na internet e achei a questão junto à figura do triângulo.

Primeiro, os dados não são dos números racionais e sim de raízes, logo vamos nos utilizar da relação seno, cosseno e tangente para resolução do mesmo.

Podemos estabelecer uma relação entre os dois triângulos através do lado que possuem em comum. Na figura, o lado/cateto que os possuem em comum é o h. Porém, a base do triângulo menor é complementação da base do triângulo maior, assim, temos estabelecida outra relação.

Base do Δₘₐᵢₒᵣ = base do Δₘₑₙₒᵣ  + 2

E o h é o mesmo: h Δₘₐᵢₒᵣ = h Δₘₑₙₒᵣ

Já as hipotenusas não possuem nenhuma relação de semelhança, proporcionalidade ou complementação.

Para relacionar os dois lados que temos conhecimento, iremos nos utilizar da tangente que é a razão entre o cateto aposto e o cateto adjacente.

Δₘₑₙₒᵣ:

$tg 60= \frac{h}{b} \\\\\sqrt{3} = \frac{h}{b} \\\\h= b\sqrt{3}$

(b será a variável da base)

Δₘₐᵢₒᵣ:

$tg 30 = \frac{h}{(b + 2)}$

$\frac{\sqrt{3} }{3} = \frac{h}{(b + 2)}$

$h = \frac{(b + 2) \sqrt{3} }{3}$

Como h é o mesmo para os dois, assim, podemos estabelecer uma relação de igualdade entre os dois valores encontrados:

$h_{Tmenor} = h_{Tmaior}$

$b\sqrt{3} = \frac{(b + 2) \sqrt{3} }{3}$

realizando a distributiva do segundo termo:

$b\sqrt{3} = \frac{b\sqrt{3} +2\sqrt{3} }{3}$

podemos separar a fração do segundo termo da seguinte forma:

$\frac{b\sqrt{3} }{3} + \frac{2\sqrt{3} }{3}$

assim, separamos as raízes, uma com coeficiente real e outra com a variável.

Agora a fração com a variável será para o lado oposto da equação, mantendo a variável de um lado e os números reais do outro.

$b \sqrt{3} - \frac{b\sqrt{2} }{3} = \frac{2\sqrt{3} }{3}$

$\frac{3b \sqrt{3} - b\sqrt{3} }{3} = \frac{2\sqrt{3} }{3}$

$\frac{2b\sqrt{3} }{3} = \frac{2\sqrt{3} }{3}$

Observe que os dois lados da equação possuem valores iguais, tanto os numeradores quanto os denominadores das duas frações,  sendo possível "corta-los". Assim, mantém-se apenas a variável e o valor resultante da equação:

$b = 1$

Agora sabemos quanto vale a base de cada um dos triângulos:

Base do Δₘₐᵢₒᵣ = base do Δₘₑₙₒᵣ  + 2  

Base do Δₘₐᵢₒᵣ = 1 + 2

Base do Δₘₐᵢₒᵣ = 3

Tendo ciência de um dos valores de cada um do triângulos é

possível encontrar a hipotenusa.

Hipotenusa Δₘₑₙₒᵣ (x):

Usaremos a relação que utiliza o cateto adjacente ao ângulo de 60° (base) e a hipotenusa. O cosseno será utilizado.

$cos 60 = \frac{1}{x}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{x}$

$x = 2$

Hipotenusa Δₘₐᵢₒᵣ(y)

Usaremos a mesma relação trigonométrica de antes:

$cos 30 = \frac{3}{y}$

$\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{3}{y} \\\\y = \frac{6}{\sqrt{3} }$

Como possuímos um número irracional no denominador, necessitamos realizar a racionalização do denominador, para assim transformar a fração em uma equivalente com denominador racional.

$y= \frac{6}{\sqrt{3} } * \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} }$

$y = \frac{6 \sqrt{3} }{3}$

$y = 2\sqrt{3}$

Agora que achamos os valores das vigas x e y podemos calcular o valor de custo total através da seguinte relação:

$C_{total} = 15,00 (x+y)$

$C_{total} = 15,00 * (2+2\sqrt{3})$

O valor de aproximação da raiz de 3 é fornecida, logo:

$C_{total} = (15,00 * (2 + 2*1,73)\\ C_{total} = (15,00 * (2 + 3,46)\\C_{total} = (15,00 * 5,46)\\C_{total} = 81,90$