Question

Uma pedra preciosa tem a forma de um octaedro regular com 6mm em todas as arestas. O preço da pedra varia de acordo com seu volume . Se cada mm³ possui o valor de 100 reais, Qual o preço aproximado desta pedra ?

Answer 1

Um octaedro regular é composto por 8 triângulos equiláteros. Para calcular a metade de um octaedro, seria o mesmo que calcular o volume de uma pirâmide de base tetraédrica, que seria da seguinte forma:

$\boxed{V = \frac{A_{b} \cdot h}{3}}$

Apesar de não parecer, a área da base é um quadrado. Por isso, sua área é:

$A_{b} = l^{2} \\\\ A_{b} = (6)^{2} \\\\ \boxed{A_{b} = 36mm^{2}}$

A altura será um pouco mais complicada. Teremos que fazer Pitágoras. Para isso, temos que descobrir a altura do triângulo equilátero de fora e também a cham\da "apótema" da base, que é a metade e por isso vale 3mm.

Para calcular a altura de um triângulo equilátero é:

$h_{\Delta} = \frac{l\sqrt{3}}{2} \\\\ h_{\Delta} = \frac{6\sqrt{3}}{2} \\\\ \boxed{h_{\Delta} = 3\sqrt{3}mm}$


Agora sim por Pitágoras:

$(h_{\Delta})^{2} = h^{2}+a^{2} \\\\ (3\sqrt{3})^{2} = h^{2}+(3)^{2} \\\\ h^{2} = 9 \cdot 3-9 \\\\ h^{2} = 27-9 \\\\ h^{2} = 18 \\\\ h = \sqrt{18} \\\\ \boxed{h = 3\sqrt{2}mm}$


Voltando na fórmula do volume e multiplicando por 2 (2 pirâmides):

$V =2 \cdot \frac{A_{b} \cdot h}{3} \\\\ V = 2 \cdot \frac{36 \cdot 3\sqrt{2}}{3} \\\\ \boxed{V = 72\sqrt{2}mm^{3}}$

Considerando raiz de dois igual a 1,4:

$V = 72 \cdot 1,4 = 100,8mm^{3}$

Portanto, multiplicando por 100 (valor do mm³):

$C = 100,8 \cdot 100 \\\\ \boxed{\boxed{C = 10.080 \ reais}}$