Question

Uma pedra cai de uma altura de 45 metros. Desprezando a resistência do ar, a função da altura é

dada por: h= 5t²




a) Quanto tempo a pedra levará para chegar ao solo?


b) Complete o quadro a seguir com a velocidade média.

Intervalo de tempo [s]

(0 ≤ t ≤ 3) /// (2 ≤ t ≤ 3) //// (2,5 ≤ t ≤ 3) ///// (2,9 ≤ t ≤ 3 ) ///// (2,999 ≤ t ≤ 3)

Vm [m/s]


c) Utilizando o conceito de limite, qual a velocidade instantânea no tempo t= 3 s ?

Answer 1

A pedra levará 3 segundos para atingir o solo, com uma velocidade instantânea de 30m/s.

a) Basta fazermos a substituição h = 45 metros na fórmula:

$h = 45m\\5t^2 = 45\\t^2 = 45/5 = 9\\t = 3s$

b) A velocidade média pode ser calculada como:

$v_m = \frac{\Delta h}{\Delta t}$

Vamos calcular para cada intervalo de tempo pedido:

• Para t entre 0 e 3: $v_m = \frac{h(3) - h(0)}{3 - 0} = \frac{5*3^2 - 0}{3} = 15 m/s$;
• Para t entre 2 e 3: $v_m = \frac{h(3) - h(2)}{3 - 2} = 5*3^2 - 5*2^2 = 45 - 20 = 25m/s$;
• Para t entre 2,9 e 3: $v_m = \frac{h(3) - h(2,9)}{3 - 2,9} = \frac{5*3^2 - 5*2,9^2}{0,1} = 29,5m/s$;
• E para t entre 2,999 e 3: $v_m = \frac{h(3) - h(2,999)}{3 - 2,999} = \frac{5*3^2 - 5*2,999^2}{0,001} = 29,995 m/s$.

c) Por definição, a velocidade instantânea pode ser calculada como sendo:

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta h}{\Delta t}$

Substituindo pela fórmula da altura fornecida no enunciado:

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{h(t + \Delta t) - h(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{5(t + \Delta t)^2 - 5t^2}{\Delta t} \\\\v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{5t^2 + 10t\Delta t + 5(\Delta t)^2 - 5t^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 10t + 5\Delta t = 10t$

Tomando t = 3s:

$v = 10*3 = 30 m/s$

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