Question

Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e neste processo está dilatando; suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o raio da base r = r(t) vale 5cm, ele vai aumentando a uma taxa de 2cm/s, e neste instante a altura vale 20 cm e está aumentando a uma taxa de 1cm/s. Calcule a taxa de variação do volume do cilíndrico neste instante. Adote π = 3.

Answer 1

Olá

Considerando a peça cilíndrica e o volume de um cilíndro é calculado pela fórmula:

$V = \pi.r^{2}.h$

Sendo V o volume, r o raio da base e h a altura da peça.

Considerando a taxa de variação do raio e da altura com o tempo, a variação do volume será dada por:

$\frac{dV}{dt} = \frac{d(\pi.r^{2}.h)}{dt}$

Como r² e h estão se multiplicando, utilizaremos a regra da derivada do produto, que diz (xy)' = x'y + xy', e ainda que π é uma constante e pode ficar do lado de fora da derivada. Logo:

$\frac{dV}{dt} = \pi.(r^{2}.\frac{dh}{dt} + 2.r.\frac{dr}{dt}.h)$

Como r = 5 cm, h = 20 cm, dr/dt = 2 cm/s e dh/dt = 1 cm/s e π = 3. Temos:

$\frac{dV}{dt} = 3.(5^{2}.1 + 2.5.2.20)$
$\frac{dV}{dt} = 3.(425)$
$\frac{dV}{dt} = 1275 cm^{3}/s$

Portanto, a taxa de variação do volume é de 1275 cm³/s.

Espero ter ajudado. Bons estudos.