Question

Uma particula se move ao longo de uma reta com deslocamento s(t), velocidade v(t) e aceleração a(t). Mostre que a(t)=v(t)dv/ds

Explique a diferença entre os significados das derivadas de dv/dt e dv/ds​

Answer 1

Sabemos que aceleração é derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, por definição sabemos que:

$a(t)=\frac{dv}{dt}$

Usando regra da cadeia, e considerando que a velocidade só é uma função do espaço, temos então que esta mesma expressão pode ser escrita como:

$a(t)=\frac{dv}{dt}$

$a(t)=\frac{dv}{ds}.\frac{ds}{dt}$

Onde s simboliza o espaço, assim a segunda parte da conta ds/dt como sabemos é a definição de velocidade de um objeto, ou seja:

$a(t)=\frac{dv}{ds}.\frac{ds}{dt}$

$a(t)=\frac{dv}{ds}.v(t)$

Assim temos a expressão que queriamos, note bem que esta regra da cadeia só funciona desta forma se avelocidade não for explicitamente dependente do tempo (em mecanica quase nunca é), caso contrário a expressão seria:

$a(t)=\frac{\partial v}{\partial s}.\frac{\partial s}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial t}$

Onde o segundo termo é 0 no nosso caso por não ser explicitamente dependente do tempo.

E o termo dv/ds é a variação da velocidade em função do espaço que não pode ser considerado uma forma de aceleração.