Question

Uma partícula percorre metade de um percurso com Vm = 40m\s . E a outra metade com vm = 10m\s.
Qual é a sua Vm no percurso todo?

Answer 1

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Suponha que o percurso todo seja de uma distância  2 · d:

(coloquei  2 · d  de propósito, pois cada metade do percurso será percorrida a uma velocidade média diferente)

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•  Trecho 1:

   •  distância percorrida:    Δx₁ = d   (metade do percurso total);

   •  velocidade média:    Vm₁ = 40 m/s;

   •  tempo gasto para percorrer o trecho 1:  Δt₁.

      Podemos obter o valor de  Δt₁  pela fórmula da velocidade média:

                     Δx₁
      Vm₁  =  ————
                     Δt₁

      Δx₁ = Vm₁ · Δt₁


      Portanto,

                    Δx₁
      Δt₁  =  ————
                    Vm₁

                    d
      Δt₁  =  ———          (i)
                   40

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•  Trecho 2:

   •  distância percorrida:    Δx₂ = d   (metade do percurso total);

   •  velocidade média:    Vm₂ = 10 m/s;

   •  tempo gasto para percorrer o trecho 2:  Δt₂.

      Novamente, tiramos o valor de  Δt₂  da fórmula da velocidade média:

                     Δx₂
      Δt₂  =  ————
                    Vm₂

                     d
      Δt₂  =  ———          (ii)
                    10

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•  Considerando o percurso completo:

   •  distância percorrida:    Δx = 2 · d;

   •  velocidade média:    Vm;

   •  tempo gasto para percorrer o trecho 1:  Δt = Δt₁ + Δt₂.


A velocidade média no percurso todo é

$\mathsf{V_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t_1+\Delta t_2}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{2\cdot d}{\frac{d}{40}+\frac{d}{10}}}$


Coloque  d  em evidência e simplifique:

$\mathsf{V_m=\dfrac{2\cdot \diagup\hspace{-7}d}{\diagup\hspace{-7}d\cdot \left(\frac{1}{40}+\frac{1}{10}\right)}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{2}{\frac{1}{40}+\frac{1}{10}}}$

(é exatamente o cálculo da  média harmônica  entre as velocidades em cada trecho)


Para simplificar, multiplique em cima e embaixo por  40:

$\mathsf{V_m=\dfrac{2\cdot 40}{\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{10}}\right)\cdot 40}}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{2\cdot 40}{\frac{40}{40}+\frac{40}{10}}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{80}{1+4}}\\\\\\ \mathsf{V_m=\dfrac{80}{5}}$

$\mathsf{V_m=16~m/s}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


A velocidade média no percurso todo foi de  16 m/s.


Bons estudos! :-)


Tags:  velocidade média média trecho harmônica cinemática mecânica