Question

Uma partícula move-se sobre o eixo x com velocidade dada por Vx(t) = bt²-ct³. dados b=5(m/s³) e c=3(m/s⁴), calcule por integração ou derivação:

a) A aceleração escalar da partícula quando t=2s;
b) A variação da coordenada x da partícula após transcorrerem 3s, a partir de t=0.​

Answer 1

Tendo a função da distância de uma partícula, podemos determinar tanto a função da velocidade quanto a função da aceleração apenas derivando.

Função da Distância :

$\text D$

Velocidade :

$[\ \text D \ ]' = \text V$

Aceleração :

$[\ \text{D} \ ] '' = [\ \text {V} \ ] '= \text{a }$

Para voltar é só integrar.

Temos a função da velocidade de uma partícula em função do tempo, dada por  :

$\text V_\text x(\text t) = \text{b.t}^2-\text {c.t}^3 \\\\ \text{com} : \text b = 5 \ \text{m/s}^3 \ ; \ \text c = 3\ \text{m/s}^4 \ ,\\\\ \text{Portanto} : \\\\ \text V_\text x(\text t) = (5 \ \text{m/s}^3). \text t^2 - (3\ \text{m/s}^4) . \text t^3$

Sabemos que a derivada da velocidade nos dá a aceleração :

$[\ \text V_\text x(\text t) \ ] ' = \text a(\text t)$

Derivando a função em relação ao tempo :

$[\ \text V_\text x(\text t) \ ] ' =[ (5 \ \text{m/s}^3).\text t^2 \ ]' - [\ (3\ \text{m/s}^4).\text t^3 \ ]' \\\\\\ \text{a(t)} = (10\ \text{m/s}^3).\text t - (9.\text{m/s}^4).\text t^2$

item a ) aceleração em t = 2 s :  

$\text{a(2s)} = (10\ \text{m/s}^3).(2 \ \text s) - (9.\text{m/s}^4).(2\ \text s)^2 \\\\ \text{a(2s)} = (20 \ \text{m/s}^3).\text s - (9 \ \text{m/s}^4).4.\text s^2 \\\\ \text{a(2s)} = 20 \ \text{m/s}^2 - 36 \ \text{m/s}^2 \\\\\\ \huge\boxed{\text{a(2s)} = -16 \ \text{m/s}^2 }\checkmark$

item b)

$\Delta \text x$ após 3s.

Temos a função da velocidade :

$\text V_\text x(\text t) = (5 \ \text{m/s}^3). \text t^2 - (3\ \text{m/s}^4) . \text t^3$

Para chegar na Função da distância basta integrar em relação ao tempo :

$\displaystyle \int \text V_\text x(\text t).\text {dt} = \int [\ (5 \ \text{m/s}^3). \text t^2 - (3\ \text{m/s}^4) . \text t^3 \ ].\text{dt } \\\\\\ \Delta_\text x{(\text t)}=\frac{(5 \ \text{m/s}^3 ).\text t^3 }{3} - \frac{(3 \ \text{m/s}^4).\text t^4}{4}$

Fazendo t = 3s :

$\displaystyle \Delta_\text x(\text t) = \frac{(5 \ \text{m/s}^3).(3\ \text s)^3}{3} - \frac{(3 \ \text{m/s}^4)(3 \ \text s)^4}{4}$

$\displaystyle \Delta_\text x(3 \ \text s) = \frac{(5 \ \text{m/s}^3).27\ \text s^3}{3} - \frac{(3 \ \text{m/s}^4).81 \ \text s^4}{4} \\\\\\ \Delta_\text x(3 \ \text s) = (5 \ \text{m}).9 - \frac{(3 \ \text{m}).81 }{4} \\\\\\ \Delta_\text x(3 \ \text s) = 45 \ \text m - 60,75 \ \text \\\\\\ \huge\boxed{\Delta_\text x( 3 \ \text s) = -15, 75 \ \text m }\checkmark$