Question

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir:

Answer 1

Bom dia Will!

Solução!

Para determinar a posição da partícula vamos ter que determinar as constantes arbitrarias c1 e c2

$Func\~ao!\\\\\\\ a(t)=10sin(t)+3cos(t)\\\\\\\\ Vamos~~ integrar~~ a~~ func\~ao\\\\\\\\ V(t)=\displaystyle \int(10sin(t)+3cos(t))dt\\\\\\\\\ \boxed{V(t)=-10cos(t)+3sen(t)+c_{1}}$

Vamos integrar novamente a função!

$V'(t)=-10cos(t)+3sen(t)+c_{1}}\\\\\\\ V'(t)=\displaystyle \int-10cos(t)+3sen(t)+c_{1}}+c2\\\\\\\ V'(t)=\displaystyle \int-10(cos(t))+\displaystyle\int3sen(t)+c_{1}}+c2$


$V'(t)=\displaystyle -10\int(cos(t))+3\displaystyle\int sen(t)+c_{1}}+c2\\\\\\\ \boxed{V'(t)=-10sen(t)-3cos(t)+c_{1}+c2}$

Essa segunda integração que vai interessar para determinar a posição da partícula ,para determinarmos os valores das constantes.

$Para~~S(0)=0\\\\\\ -10sen(0)-3cos(0)+0+c2}=0\\\\\ (-10.0)-(3.1)+0+c2=0\\\\\\\\ 0-3+c2=0\\\\\\ \boxed{c2=3}\\\\\\ Para~~S(2 \pi )=12\\\\\\\ -10sen(2 \pi )-3cos(2 \pi )+c_{1}+3}=12\\\\\\ -10sen(360\º )-3cos(360\º )+c_{1}2 \pi +3}=12\\\\\\ -10.(0 )-3.(1 )+c_{1}2 \pi +3}=12\\\\\\ 0-3+3+c_{1}2 \pi=12\\\\\\\ c_{1}2 \pi=12\\\\\\\ c_{1}= \dfrac{12}{2 \pi }\\\\\\ \boxed{c_{1}= \dfrac{6}{ \pi}}$

Retomando a função acima!

$V'(t)=-10sen(t)-3cos(t)+c_{1}+c2}\\\\\\ V'(t)=-10sen(t)-3cos(t)+\dfrac{6}{ \pi } +3$
Essa é a função que determinar a posição da partícula.

$\boxed {Resposta:~~V'(t)=-10sen(t)-3cos(t)+\dfrac{6}{ \pi } +3}$

Bom dia!
Bons estudos!