Question

uma particula move-se ao longode uma reta com função velocidade v(t) = t^2 -t onde v e medida em metros por segundo sabendo que a distancia percorrida pela particula e igual a integral da função velocidade determine a distancia percorrida pela particula durante o intervalo de tempo {0,5}

Answer 1

A distância percorrida é de 100m

Esta é uma questão sobre equações matemáticas que é a sentença matemática que possui números e operações matemáticas, com uma igualdade. Quando vamos resolver uma expressão ou uma equação, devemos respeitar a ordem das operações e, também, a existência de chaves, colchetes ou parênteses.

Sempre deve-se resolver primeiro as operações de divisão e multiplicação, depois podemos seguir para soma e subtração. Nos símbolos, resolve-se o que está dentro dos parênteses, depois dos colchetes, e por fim das chaves.

Além disso, é muito importante respeitar os sinais, o enunciado nos deu uma equação e um intervalo de tempo, substituindo o "t" da equação por 5 segundos que foi o tempo em que a partícula percorreu certa distância, encontraremos sua velocidade durante o percurso:

$v(t) = t^2-t\\\\v(5) = 5^2-5\\\\v(5) = 25-5\\\\v(5)=20m/s$

Se a velocidade da partícula é de 20m/s, quer dizer que nos 5 segundos foram percorridos um total de:

20metros em 1 segundo

x metros em 5 segundos

$x\times 1 = 20 \times 5\\\\x=100m$

Answer 2

Seja a função velocidade dada por $v(t)=t^2-t$, como o próprio enunciado especifica, temos que a distancia percorrida pela partícula é igual a integral da função velocidade, como a questão pede o espaço percorrido no intervalo de tempo [0,5], obtemos a seguinte integral definida

$\displaystyle\int_{0}^{5}t^2-t\,dt$

Sabemos que a integral de $x^n$ é dada por

$\displaystyle\int\,x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\,\,x\neq0$

Logo resolvendo a integral temos

$\displaystyle\int_{0}^{5}t^2-t\,dt=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^2}{2}\Bigg|_{0}^{5}$

Aplicando então o teorema fundamental do cálculo

$\displaystyle\int_{0}^{5}t^2-t\,dt=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^2}{2}\Bigg|_{0}^{5}=\dfrac{5^3}{3}-\dfrac{5^2}{2}-\left(\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{0^2}{2}\right)\\\\\\\Rightarrow \int_{0}^{5}t^2-t\,dt=\dfrac{125}{3}-\dfrac{25}{2}\\\\\\\Rightarrow \int_{0}^{5}t^2-t\,dt=\dfrac{175}{6}$

Portanto, o distancia percorrida em [0,5] foi de $\boxed{\dfrac{175}{6}\,\,\mbox{metros}}$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/27007170