Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força F(x) = - kx + bx², onde k=200N/m e b=300N/m².
a) Calcule a energia potencial U(x) da partícula, tomando U(0)=0 e faça um gráfico de U(x) para -0,5 m < x < 1,0 m.
b) Encontre as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.
c) Para que domínio de valores de x e da energia total da partícula E a partícula pode ter um movimento oscilatório?
d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais regiões do eixo x.
Soluções para a tarefa
A) Para uma força conservativa, como a descrita no problema, podemos definir uma função potencial como:
a)' Energia potencial como função da posição da partícula.
b)' Quando a energia total define dois pontos de retorno em um poço de potencial, o movimento é oscilatório se a partícula inicia o movimento no interior do poço
(anexo no final da questão)
B) As posições de equilíbrio da partícula são aquelas onde não existe nenhuma força agindo sobre a partícula. Nestas posições, quando a partícula é posta em repouso, ela permanecerá em repouso
indefinidamente. Se não atuam forças devemos ter:
(anexo no final da questão)
Os pontos de equilíbrio são x'1 = 0m e X' 2 = k/K = 2/3m.
A estabilidade do ponto depende do comportamento da força que atua nas vizinhanças daquele ponto. Se a força for restauradora, ou seja, tende a retornar a partícula ao ponto de equilíbrio, o ponto de equilíbrio é estável. Se a força tende a afastar a partícula do ponto de equilíbrio, o
ponto de equilíbrio é instável.
Para analisar o comportamento da força nas vizinhanças de um ponto usamos o conceito de derivada.
Se a derivada for positiva, a força é positiva do lado direito e negativa do lado esquerdo do ponto e a partícula será sempre afastada do ponto de equilíbrio (equilíbrio instável). Se a derivada for negativa, a força é negativa do lado direito e positiva do lado esquerdo do ponto, o
que empurra a partícula de volta ao ponto de equilíbrio (equilíbrio estável).
Observe que para o potencial é o contrário: derivada segunda negativa no ponto indica instabilidade (concavidade para baixo), derivada segunda positiva indica estabilidade (concavidade para cima). Isso se deve
ao sinal negativo na definição da energia potencial em física.
Vamos usar a energia potencial para analisar a estabilidade dos pontos:
(anexo no final da questão)
C) O movimento oscilatório ocorre quando a partícula está confinada em um poço de potencial. Ela está confinada quando sua energia total é menor que a energia necessária para que ela ultrapasse a barreira de potencial de qualquer um dos dois lados.
Quando a partícula se aproxima de um dos lados do poço a energia cinética se anula e a energia total é a própria energia potencial naquele ponto.
Para que a energia cinética não seja nula (nem negativa!) em nenhum ponto, a energia total deve ser maior que o fundo do poço de potencial (ET > 0J).
O maior valor que essa energia pode atingir para que a partícula possa ainda estar confinada no poço de potencial é o valor máximo da energia potencial. Para encontrar este valor, procuramos os pontos de extremo (já
calculados):
(anexos no final da questão)
E este é o maior valor de energia para que a partícula esteja confinada no poço de potencial. Para que o movimento seja oscilatório a energia deve ser menor que este valor máximo.
(anexos no final da questão)
D) Se a energia for exatamente igual ao valor máximo (local) da energia potencial, a partícula entrará em equilíbrio instável neste ponto e não retornará ao movimento. Se ela partir de dentro do poço, ela irá cumprir apenas uma oscilação e parar em x = 2/3m.
Se ela partir de fora do poço, ou ela irá se afastar indefinidamente da origem ou irá parar no ponto de equilíbrio instável x = 2/3m, dependendo se a velocidade inicial é positiva ou negativa, respectivamente.
Se a energia for maior que o máximo do potencial, a partícula irá sempre escapar pelo lado direito, ricocheteando ou não do lado esquerdo, e irá se afastar indefinidamente da origem
Se a energia estiver na faixa 0 < ET < 14, 8J, mas a partícula estiver fora do poço, ela irá se afastar indefinidamente da origem, ricocheteando ou não na barreira de potencial.
Se a partícula tiver energia total negativa, ela deverá estar fora do poço, caso contrário teríamos K < 0J. Ela irá se afastar indefinidamente da origem, ricocheteando ou não na barreira de potencial.
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)
