Question

uma particula inicia um movimento harmônico simples (MHS) apartir da sua posição de repouso. em 1s desloca-se em p unidades em um sentido. No segundo seguinte. move-se em q unidades no mesmo sentido. Qual é a amplitude deste mhs?

Answer 1

Lembre que:

$\boxed{\mathsf{x=A\cdot cos(\omega t+\varphi_o)}}$

"A partir de sua posição de repouso, em 1s desloxa-se p unidades em um sentido."

Dessa forma, vem:

$\boxed{\varphi_o=0}$

$\mathsf{p=A\cdot cos(\omega\cdot1)}$

"No segundo seguinte, move-se q unidades no mesmo sentido."

Então:

$\mathsf{p+q=A\cdot cos(\omega\cdot2)}$

Juntando essas duas equações em um sistema:

$\begin{cases}p=A\cdot cos(\omega)\\p+q=A\cdot cos(2\omega)\end{cases}$

Utilizando a fórmula de arco duplo em cos (2ω):

$\mathsf{cos2\omega\to cos^2\omega-sen^2\omega}$

$\boxe{sen^2x+cos^2x=1}\to sen^2x=1-cos^2x$

Retomando:

$\mathsf{cos2\omega\to cos^2\omega-sen^2\omega}\\\\\mathsf{cos^2\omega-(1-cos^2\omega)\to2cos^2\omega-1}$

Voltando ao sistema, substituindo cos 2ω:

$\begin{cases}p=A\cdot cos\omega\to\boxed{\dfrac{p}{A}=cos\omega}\\\\p+q=A\cdot(2cos^2\omega-1)\end{cases}$

Substituindo cos ω na segunda equação:

$\mathsf{p+q=A\cdot(2\cdot(\dfrac{p}{A})^2-1)}$

$\mathsf{p+q=A\cdot(2\dfrac{p^2}{A^2}-1)}$

$\mathsf{p+q=2\cdot A\cdot\dfrac{p^2}{A^2}-A}$

$\mathsf{p+q=\dfrac{2p^2}{A}-A}$

Multiplicando toda a equação por A:

$\mathsf{A(p+q)=2p^2-A^2}$

$\mathsf{A^2+(p+q)A-2p^2=0}$

Dessa forma, chegamos em uma equação do segundo grau. Agora vamos resolvê-la.

$\boxed{a=1;b=p+q;c=-2p^2}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}$

$\mathsf{\Delta=(p+q)^2-4\cdot1\cdot(-2p^2)}$

$\mathsf{\Delta=p^2+2pq+q^2+8p^2}$

$\mathsf{\Delta=9p^2+2pq+q^2}$

$\mathsf{A=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}}$

$\mathsf{A=\dfrac{-(p+q)\pm\sqrt{9p^2+2pq+q^2}}{2}}$

Como a distância não pode dar negativa, escolhemos a opção que soma.

$\boxed{\mathsf{A=\dfrac{-p-q+\sqrt{9p^2+2pq+q^2}}{2}}}$

Acredito que essa seja a resposta. Confira se está realmente certa.

Caso tenha como simplificar mais essa expressão me avise.