Question

Uma partícula é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s. Adotando g = 10 m/s2, determine:

a) A velocidade da partícula ao atingir metade da altura máxima.
b) O que podemos concluir sobre o valor dessa velocidade?

Answer 1

Após a realização do cálculo concluímos que a velocidade na metade da altura é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{ V \approx 28{,} 28 \: m/s } }$ e até atingir a metade da altura.

O lançamento vertical é um movimento unidimensional no qual se desconsidera o atrito com o ar.

• velocidade inicial $\textstyle \sf \sf V_0$ diferente de zero,

• subindo, a velocidade diminui e a aceleração é constante,

• lançado na direção vertical e para cima é retardado pela aceleração até que ele atinja a sua altura máxima,
• O tempo subida é igual ao tempo de descida.
• velocidade $\textstyle \sf \sf V_0$ de lançamento na origem é igual à mesma velocidade de chegada à origem, mas de sinal contrário $\textstyle \sf \sf -V_0$ .

Função horária da velocidade:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ V_y = V_{0y} +g \cdot t } } }$

Função horária da posição:

$\large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ H = h_0 + V_0 \cdot t + g \cdot \dfrac{t^2}{2} } } }$

Equação de Torricelli:

$\large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ V^2 = V_0^2 +2\cdot g \cdot H } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf V_{0y} = 40\: m/s \\ \sf g = 10\: m/s^2 \\ \end{cases}$

a) A velocidade da partícula ao atingir metade da altura máxima.

Primeiramente devemos determinar o tempo gasto.

Na altura máxima a $\boldsymbol{ \textstyle \sf V = 0 }$.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V_y = V_{0y} +g \cdot t } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 0 = 40 -10 \cdot t }$

$\large \displaystyle \mathsf{10 \cdot t = 40 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ t = \dfrac{40}{10} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 4 \:s }$

Aplicando a unção horária da posição, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ H = h_0 + V_0 \cdot t + g \cdot \dfrac{t^2}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ H = 0 + 40 \cdot 4 -10 \cdot \dfrac{4^2}{2} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ H =160 - 5 \cdot 16 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ H =160 - 80 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf H = 80\: m }$

A metade da altura é:

$\large \displaystyle \mathsf{ \Delta H = 40 \: m }$

Aplicando a equação de Torricelli, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ V^2 = V_0^2 +2\cdot g \cdot \Delta H }$

$\large \displaystyle \mathsf{ V^2 = (40)^2 - 2\cdot 10 \cdot 40 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ V^2 = 1\:600 - 800 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ V^2 = 800 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ V = \sqrt{800} } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf V \approx 28{,} 28\: m/s }} }$

b) O que podemos concluir sobre o valor dessa velocidade?

O valor encontrado retarda o movimento, onde aceleração da gravidade é negativa, contrária ao sentido convencional  e a velocidade positiva.

Em outra palavras aceleração diminui a velocidade.

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