Question

uma partícula descreve uma curva, cuja posição é representada por:
s(t) = -t² + 5t + 1, com a medida em metros e t em segundos.

1- determine suas velocidades instantâneas em t= 1s, t=2s, t=3s e t=4s.
2- em qual instante t temos v=0
lembre-se que v(t) = s'(t).

alternativas
1 - v(1) = 3m/s e v (2,5)=0m/s
2- v(2)= 3m/s e v(3)= -1m/s
3- v(3)= 1m/s e v(4)= -3m/s
4- v(4)= -3m/s e v(2,5)= 1m/s
5- v(2,5)=0m/s e v(2)=-1m/s
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Answer 1

Sabemos que o resultado da derivada da função espaço ($s(t)$)é igual a função velocidade($v(t)$), matematicamente isso pode ser escrito como $\frac{d}{dt}s(t) = v(t)$. A questão nos pergunta no primeiro tópico quais as velocidades instantâneas nos determinados tempos acima, então teremos que primeiro derivar a função espaço:

$s(t) = - t {}^{2} + 5t + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt}( - t {}^{2} + 5t + 1)$

Pela regra da soma, sabemos que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, em outras palavras $\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx} f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$. Aplicando:

$v(t) = \frac{d}{dt} ( - t {}^{2} ) + \frac{d}{dt} 5t + \frac{d}{dt} 1$

Aplicando a regra da potência ($x^{n}=n.x^{n-1}$):

$v(t) = - 2t {}^{2 - 1} + 1.5 {t}^{1 - 1} + 0 \: \: \: \: \\ \\ v(t) = - 2t + 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa é a função velocidade. Agora vamos substituir os valores de "t" informados:

$\begin{cases} \text {para \: t = 1} \\ \text{ v(1) = - 2t + 5 } \\ \text{ v(1) = - 2.1 + 5}\\ \text{v(1) = - 2 + 5} \\ \text{ v(1) = 3} \\ \\ \text {para \: t = 2} \\ \text{ v(2) = - 2t + 5 } \\ \text{ v(2) = - 2.2 + 5}\\ \text{v(2) = - 4+ 5} \\ \text{ v(2) = 1} \end{cases} \: \: \begin{cases} \\ \text {para \: t = 3} \\ \text{ v(3) = - 2t + 5 } \\ \text{ v(3) = - 2.3 + 5}\\ \text{v(3) = - 6 + 5} \\ \text{ v(3) = - 1} \\ \\ \text {para \: t = 4} \\ \text{ v(4) = - 2t + 5 } \\ \text{ v(4) = - 2.4+ 5}\\ \text{v(4) = - 8 + 5} \\ \text{ v(4) = - 3} \\ \\ \end{cases}$

Vamos para o segundo tópico que pergunta qual o instante em que a velocidade é igual a "0", para isso basta igualar a expressão da velocidade a 0:

$\text{v(t) = - 2t + 5 \: \: v(t) = 0} \\ \text{ - 2t + 5 = 0 } \\ \text{ - 2t = - 5.( - 1)} \\ \text{2t = 5 } \\ \text{t = 2,5s}$

Portanto podemos concluir que:

• Resposta: Alternativa 1