Question

Uma partícula de massa m é presa a uma mola de constante elástica k. Sobre ela é exercida uma força de resistência viscosa dada por F(v) = -bvF(v)=−bv ondeb é uma constante positiva e v sua velocidade instantânea. Dados: m = 0,100kg=0,100kg; b = 1,60kg/sb=1,60kg/s e k = 10,0 N/mk=10,0N/m.

a) Verifique qual o tipo de oscilação.

b) Escreva a equação horária da posição supondo x(0) = 0,200m e v(0) = 0

c) Admitindo que a amplitude inicial é A e a energia inicial é E0_0E0, qual a amplitude e energia após cinco ciclos.

Answer 1

Olá,
  A) Como a questão diz que a partícula sofre uma força de resistência viscosa, da a entender que aqui está um exemplo de Movimento Harmônico Simples Amortecido.

B)  De acordo com o que a questão afirma ( x(0) = 0,200m e v(0) = 0) , podemos tirar como conclusão de que a mola parte do ponto de maior amplitude inicial.
   A equação do MHS amortecido é $X(t)=Xm.e^{ \frac{-bt}{2m} }.cos(w't+ \alpha )$, onde alpha representa a fase, porém como a partícula parte do ponto de maior amplitude, neste caso ela será 0.
    Sabendo que e^0=1 e cosseno de 0 = 1, logo teremos que Xm vale 0,2m.

   Sabendo que $w'= \sqrt{ \frac{k}{m} - \frac{b^{2}}{4m^{2}} }$ teremos $w'= \sqrt{ \frac{10}{0,1} - \frac{1,6^{2}}{4.0,1^{2}} }= \sqrt{100-64} =6$.

    Sendo assim, basta substituir os valores que temos agora na equação genérica, para achar a equação deste MHS amortecido. Vejamos:

$X(t)=0,2.e^{-8t} .cos(6t)$

C) Se  $T= \frac{2 \pi }{w} = \frac{ \pi }{3}$, em 5 ciclos teremos $\frac{ 5\pi }{3}$, esse sera o tempo de 5 ciclos.

Substituindo na fórmula $0,2.e^{-8. \frac{5 \pi }{3} } .cos(6. \frac{5 \pi }{3} )=0,2.e^{-40 \pi /3}.cos(10 \pi )$, note que o valor de "e" tenderá a 0, portanto podemos considerar que não haverá movimento ali, e ainda que também não haverá energia.

   Espero realmente ter ajudado, estou estudando essa matéria agora, caso haja alguma divergência com o gabarito me informe, pois assim aperfeiçoarei assim como você esta matéria.

Abraço.