Question

Uma partícula de massa m = 1,00 kg é presa a uma mola de constante elástica k = 10,0 N/m. Sobre ela é exercida uma força de resistência viscosa dada por F =-bv onde b = 1,60 kg/s é uma constante positiva e v sua velocidade instantânea.

a) (1,0 ponto) Verifique qual o tipo de oscilação.

b) (2,0 pontos) Escreva a equação horária da posição supondo x(0) = 0,200 m e v(0) = 0.

c) (2,0 pontos) Qual a amplitude e energia após dois ciclos ?

Answer 1

Olá.

A) Como a questão diz que a partícula sofre uma força de resistência viscosa, da a entender que aqui está um exemplo de Movimento Harmônico Simples Amortecido.

B)  De acordo com o que a questão afirma ( x(0) = 0,200m e v(0) = 0) , podemos tirar como conclusão de que a mola parte do ponto de maior amplitude inicial.

A equação genérica do MHS amortecido é  $X(t)=Xm.e^{ \frac{-bt}{2m}} .cos(w't+ \alpha )$ , onde alpha representa a fase, porém como a partícula parte do ponto de maior amplitude, neste caso ela será 0.

Sabendo que e^0=1 e cosseno de 0 = 1, logo teremos que Xm vale 0,2m.

Sabendo que $w'= \sqrt{ \frac{k}{m}- \frac{b^{2}}{4m^{2}} }$ logo  $w'= \sqrt{10- \frac{1,6^{2}}{4} } =3,06$

  Sendo assim, basta substituir os valores que temos agora na equação genérica, para achar a equação deste MHS amortecido.


$X(t)=0,2.e^{-0,8t}.cos(3,06t)$

C) Se T=2π/w, T=2π/3,06, em 2 ciclos teremos 4π/3,06. Substituindo esse tempo na fórmula teremos X(t)= 0,0075 aproximadamente, esse será a amplitude depois de 2 ciclos.

A energia de um oscilador massa/mola é dada pela soma da energia potencial mais a energia cinética, como estamos na amplitude máxima, não a velocidade, logo toda a energia é dada pela energia potencial, logo teremos: $E= \frac{10.(0,0075^{2})}{2} =0,00028125J$.

Espero ter ajudado.