Question

Uma partícula de carga Q está no eixo y a uma distância a da origem e uma partícula de carga q está no eixo x a uma distância d da origem. O valor de d para o qual a componente x da força a que a segunda partícula é submetida é máxima é:



a.

0



b.

a/√2


c.

a



d.

a/2



e.

a/√2

Answer 1

A distância d = a/√2 será a que produzirá a maior força eletrostática, na horizontal, possível. Letra b).

Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

No gráfico da figura, podemos ver que a distância entre as duas cargas é representada pela semirreta r. E as componentes da força eletrostática em q estão em roxo.

Além disso vemos também dois ângulos iguais (ângulos θ) pois são ângulos alternos internos ao eixo x.

Primeiro vamos aplicar a Lei de Coulomb para calcularmos a força resultante em q, ou seja, a força F da figura:

$F = \frac{kQq}{r^2}$

A distância r entre Q e q pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por a, b e r:

$r^2 = a^2 + d^2$

Substituindo na Lei de Coulomb:

$F = \frac{kQq}{a^2 + d^2}$

Agora vamos trabalhar com o ângulo θ. No triângulo retângulo Δabr teremos:

$cos\theta = d/r = \frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2} }$

Já no triângulo dos vetores Fx, Fy e F, teremos:

$cos\theta = F_x/F$

Igualando os dois cossenos, pois são cossenos no mesmo ângulo θ, temos:

$\frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2} } = \frac{F_x}{F} \\\\F_x = \frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2} } *F$

Substituindo a expressão de F que encontramos anteriormente:

$F_x = \frac{d}{\sqrt{a^2 + d^2} } *\frac{kQq}{a^2 + d^2}} = \frac{kQqd}{(a^2 + d^2)\sqrt{a^2 + d^2} } = \frac{kQqd}{\sqrt{(a^2 + d^2)^3} }$

Com isso em mãos devemos modelar a fração de tal forma que facilite a nossa análise. Devemos também ressaltar que consideraremos "a" como sendo uma constante real.

Vamos calcular a derivada dessa função, lembrando que a função Fx possuí apenas uma variável x:

$F_x' = \frac{d}{dd} (\frac{kQqd}{\sqrt{(a^2 + d^2)^3} } ) = \frac{kQq(a^2 - 2d^2)}{(a^2 + d^2)\sqrt{(a^2 + d^2)^3} }$

Para pesquisarmos um ponto de máximo (ou mínimo, dependendo do que a questão pede) basta igualarmos a derivada a 0:

$F_x' = 0\\\\\frac{kQq(a^2 - 2d^2)}{(a^2 + d^2)\sqrt{(a^2 + d^2)^3} } = 0$

O denominador nunca vai ser 0, a não ser que tanto a quanto d sejam 0, portanto podemos eliminá-lo da análise. Também podemos fazer o mesmo com as constantes k, Q e q. Deste modo, vai restar apenas:

$(a^2 - 2d^2) = 0\\\\2d^2 = a^2\\\\d^2 = a^2/2\\\\d = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$

Isso sendo válido apenas para a > 0 e d > 0.

Você pode aprender mais sobre Lei de Coulomb aqui: https://brainly.com.br/tarefa/20066978