Question

Uma parábola passa pelos pontos A (0,5), B (2,-3) e C (3,-4). Qual é o valor da soma das coordenadas do vértice?

Answer 1

(x) = ax² + bx + c

f(0) = 5 --> c = 5
f(2) = -3 --> 4a + 2b +5 = -3
f(3) = -4 --> 9a + 3b +5 = -4

4a + 2b = -8
9a + 3b = -9 
12a + 6b = -24
18a + 6b = -18
6a = 6
a = 1
4 + 2b = -8
2b = -12
b = -6

f(x) = x² - 6x + 5

Δ² = 36 - 20 = 16

vértice
Vx = -b/2a = 6/2 = 3
Vy = -Δ²/4a = -16/4 = -4 

Vx + Vy = 3 - 4 = -1 

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a soma das coordenadas do vértice da parábola da função do segundo grau - função quadrática - é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{C_{V}} = -1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                $\Large\begin{cases} A = (0, 5)\\B = (2, -3)\\C = (3, -4)\end{cases}$

Antes de tudo devemos ter consciência que toda função quadrática pode ser montada da seguinte forma:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = ax^{2} + bx + c,\:\:\:a \neq0\end{gathered}$

Além disso, devemos saber que a equação do segundo grau em sua forma geral, gerada a partir da referida função é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = 0\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Encontrar a função que passa pelos pontos. Para isso, devemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

        $\Large\begin{cases} a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c = 5\\a\cdot2^{2} + b\cdot2 + c = -3\\a\cdot3^{2} + b\cdot3 + c = -4\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} c = 5\\4a + 2b + c = -3\\9a + 3b + c = -4\end{cases}$

        Inserindo o valor de "c" nas duas últimas equações do sistema, temos:

         $\Large\begin{cases} 4a + 2b + 5 = -3\\9a + 3b + 5 = -4\end{cases}\Longrightarrow\Large\begin{cases} 4a + 2b = -8\\9a + 3b = -9\end{cases}$

        Isolando "a" na última primeira equação do último sitema, temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = \frac{-8 - 2b}{4}\end{gathered}$

         Inserindo o valor de "a" na segunda equação do último sistema, resolvendo e simplificando os cálculos, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9\cdot\bigg(\frac{-8 - 2b}{4}\bigg) + 3b = -9\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{-72 - 18b}{4} + 3b = -9\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{-72 - 18b + 12b}{4} = -9\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} -72 - 18b + 12b= -36\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} -18b + 12b = -36 + 72\end{gathered}$

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6b = 36\end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = -\frac{36}{6}\end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} b = -6\end{gathered}$

        Inserindo o valor de "b" na equação "I", temos:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = \frac{-8 - 2\cdot(-6)}{4}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-8 + 12}{4}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{4}{4}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$

       Portanto, os coeficientes da função são:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = 1,\:\:\:b = -6\:\:\:e\:\:\:c = 5\end{gathered}$

        Portanto, a função quadrática procurada é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 6x + 5\end{gathered}$

• Calcular a soma das coordenadas do vértice. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S_{C_{V}} = \frac{-b^{2} - 2b + 4ac}{4a}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-\left[(-6)^{2}\right] - 2\cdot(-6) + 4\cdot1\cdot5}{4\cdot1}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-36 + 12 + 20}{4}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\frac{4}{4}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\end{gathered}$

✅ Portanto, a soma das coordenadas do vértice é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S_{C_{V}}= - 1\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$