Question

Uma parábola P possui reta diretriz L: x + 2y = 1 e vértice V = (4, 1).
A) Determine as coordenadas do foco de P.
B) P intersecta o eixo OY ? Justifique.

Answer 1

As coordenadas do foco de P são F = (5,3); A parábola intersecta o eixo OY no ponto (0,13).

a) É importante lembrarmos que a distância entre a diretriz e o vértice é igual à distância entre o vértice e o foco.

Vamos calcular a distância entre a diretriz x + 2y = 1 e o vértice V = (4,1). Utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, obtemos:

$d=\frac{|1.4 + 2.1 - 1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$

d = 5/√5

d = √5.

Note que a reta perpendicular à diretriz e que passa pelo ponto V = (4,1) possui equação 2x - y = 7. Tal reta também passa pelo foco da parábola. Sendo assim, podemos dizer que F = (x, 2x - 7).

A distância entre V e F é igual a √5. Logo:

√5 = √(x - 4)² + (2x - 7 - 1)²

5 = x² - 8x + 16 + (2x - 8)²

x² - 8x + 11 + 4x² - 32x + 64 = 0

5x² - 40x + 75 = 0

x² - 8x + 15 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara, obtemos x = 3 e x = 5.

Se x = 3, então F = (3,-1);

Se x = 5, então F = (5,3).

Note que F = (3,-1) pertence à diretriz. Portanto, as coordenadas do foco são F = (5,3).

b) Considere que P = (x,y) é um ponto da parábola. A distância entre P e l é igual à distância entre P e F.

Dito isso, temos que:

$\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2}$

(x + 2y - 1)²/5 = (x - 5)² + (y - 3)²

(x + 2y - 1)² = 5((x - 5)² + (y - 3)²).

Se a parábola intersecta o eixo OY, então fazendo x = 0, obtemos:

(2y - 1)² = 5((0 - 5)² + (y - 3)²)

4y² - 4y + 1 = 5(25 + y² - 6y + 9)

4y² - 4y + 1 = 125 + 5y² - 30y + 45

y² - 26y + 169 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara, obtemos y = 13. Portanto, a parábola intersecta o eixo OY no ponto (0,13).