Question

Uma PA e uma PG têm, ambas, o primeiro termo igual a 2. Sabe-se também que seus terceiros termos são maiores que zero e iguais, e que o segundo termo da PA
excede o segundo termo da PG em 1. Qual é o terceiro termo das progressões?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vitalino, que a resolução é simples.
Vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entedimento.
 
i) Como ambas têm o primeiro termo (a₁) igual a "2", então já sabemos que elas duas começam com o mesmo primeiro termo: "2".

ii) Chamaremos de "x" e o segundo termo da PA e de"y" o segundo termo da PG. E, como o segundo termo da PA (x) excede o segundo termo da PG (y) em uma unidade, então teremos que:

x = y + 1 .

iii) E, finalmente, como o terceiro termo da PA é igual ao terceiro termo da PG, então chamaremos esse terceiro termo de ambas as progressões de "z" (já sabendo-se que esse terceiro "z" é maior do que zero, ou seja, é positivo).

iv) Assim, a PA e a PG terão a seguinte conformação:

PA -----> (2; x; z)
PG ----> (2; y; z)

Mas veja que x = y + 1. Então vamos na PA e substituiremos "x" por "y+1". Assim, a PA e a PG ficarão da seguinte forma:

PA -----> (2; y+1; z)
PG ----> (2; y; z)

v) Agora veja: a razão de uma PA é constante e é encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Então, para a PA, que é esta (2; y+1; z) teremos:

z - (y+1) = y+1 - 2 ----- retirando-se os parênteses, teremos:
z - y - 1 = y - 1 ---- passando "y" para o 1º membro e "-1" para o 2º, teremos:
z - y - y = - 1 + 1
z - 2y = 0    . (I)

vi) Agora vamos para a razão da PG. Sabe-se que a razão de uma PG também é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então, para a PG, que é esta (2; y; z) a razão será encontrada assim:

z/y = y/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2z = y²
z = y²/2     . (II)

vii) Agora veja que ficamos com o seguinte sistema,formado pelas expressões (I) e (II):

z - 2y = 0    . (I)
z = y²/2     . (II)

Agora vamos substituir, na expressão (I) o valor de "z" por "y²/2", conforme vimos na expressão (II).
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

z - 2y = 0 ---- substituindo-se "z" por "y²/2", teremos:
y²/2 - 2y = 0 ---- mmc = 2. Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos;
1*y² - 2*2y = 2*0
y² - 4y = 0 ----- vamos colocar "y" em evidência, ficando assim:
y*(y - 4) = 0 ---- note que aqui temos um produto entre dois fatores, cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
y = 0 ----> y' = 0 <--- raiz inválida, pois o 2º termo não poderá ser zero, pois se assim fosse o terceiro termo da PG seria "0" e já vimos que o terceiro termo das duas progressões é positivo (maior do que zero). Assim, descartaremos a raiz y = 0 e ficaremos apenas com a outra raiz.

ou
y - 4 = 0 ----> y'' = 4 <--- raiz válida, pois é diferente de zero. Então este é o 2º termo da PG.

Agora que já temos que y = 4, vamos encontrar qual é o segundo termo da PA, que é "x" = y + 1. Assim, o 2º termo da PA será:

x = 4 + 1
x = 5 <---- Este é o segundo termo da PA.

Dessa forma, como já sabemos que o primeiro termo de ambas as progressões é "2", e que o segundo termo da PA é 5 e o segundo termo da PG é 4, então já temos que os dois primeiros termos de cada uma das Progressões serão:

PA ----> (2; 5; z)
PG ----> (2; 4; z)

Note: para a PA teremos:

z - 5 = 5 - 2 = 3 <--- Esta é a razão da PA. E, assim, o terceiro termo da PA será:

z - 5 = 3 ---> z = 3+5 ---> z = 8 <--- este é o 3º termo da PA.

E, para a PG, teremos:

z/4 = 4/2 ----> multiplicando-se em cruz, teremos:
2*z = 4*4
2z = 16
z = 16/2
z = 8 <--- Este é o terceiro termo da PG.

viii) Assim, resumindo, teremos que o terceiro termo de ambas as progressões é:

8 <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, vamos ver quais são os três termos de cada uma das progressões, já que sabemos quais são eles. Assim, teremos:

PA -----> (2; 5; 8) <--- Veja que é uma PA de razão (r) igual a 3.
PG ----> (2; 4; 8) <---- Veja que é uma PG de razão (q) igual a 2.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.