Question

uma pá de três termos cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja igual a 60​

Answer 1

PA:  a1 , a2 , a3

$Soma ~dos ~Termos:~~~\boxed{a_1 + a_2 + a_3~=~12}\\\\Produto~dos~Termos:~~~\boxed{a_1~.~a_2~.~a_3~=~60}$

Utilizando a equação do termo geral da PA para reescrever a2 e a3 em função de a1:

$a_n~=~a_1+(n-1).r\\\\\\a_2~=~a_1+(2-1).r\\\\\boxed{a_2~=~a_1+r}\\\\\\a_3~=~a_1+(3-1).r\\\\\boxed{a_3~=~a_1+2r}$

Substituindo nas equações:

$\\a_1+a_2+a_3~=~12\\\\a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)~=~12\\\\3a_1+3r~=~12\\\\\boxed{a_1+r~=~4}\\\\\\a_1~.~a_2~.~a_3~=~60\\\\\boxed{a_1~.~(a_1+r)~.~(a_1+2r)~=~60}$

Perceba que temos 2 equações e 2 incógnitas, logo podemos resolver utilizando qualquer método de solução de sistemas de equações conhecido.

Vou utilizar o método da substituição.

Isolando a razão na equação da soma dos termos:

$a_1+r~=~4\\\\\boxed{r~=~4-a_1}$

Substituindo na equação do produto de termos:

$a_1~.~(a_1+r)~.~(a_1+2r)~=~60\\\\\\a_1~.~(~a_1+(4-a_1)~)~.~(~a_1+2.(4-a_1)~)~=~60\\\\\\a_1~.~(a_1+4-a_1)~.~(a_1+8-2a_1)~=~60\\\\\\a_1~.~(4)~.~(-a_1+8)~=~60\\\\\\-4a_1^2+32a_1~=~60\\\\\\-a_1+8a_1~=~15\\\\\\a_1-8a_1+15~=~0\\\\\\Utilizando~Bhaskara,~achamos:\\\\\boxed{a_1\,'~=~5}\\\\\boxed{a_1\,''~=~3}$

$Substituindo~os~a_1\,'s~achados~para~determinar~as~razoes~correspondentes:\\\\r'~=~4-a_1\,'\\\\r'~=~4-5\\\\\boxed{r'~=~-1}\\\\\\r''~=~4-a_1\,''\\\\r''~=~4-3\\\\\boxed{r''~=~1}$

Como o enunciado não impõe qualquer outra limitação, temos duas possibilidades de PA que obdecem as informações dadas:

PA': 5 , 4 , 3      [a1 = 5 e razão -1]

e

PA'': 3 , 4 , 5     [a1 = 3 e razão 1]