Question

Uma p.a e uma p.g crescentes, cada uma com tres termos, tem a mesma razão. Sabe-se que a soma dos termos da P.A adicionada a soma dos termos da p.g é igual a 31, o primeiro termo da p.g é igual a 1 e as razoes são iguais ao primeiro termo da P.A. Determine a razão.

Answer 1

seja  a PA
a1 = a
a2 = 2a
a3 = 3a
Somo  = a + 2a + 3a =  6a ****


seja a PG
pois o primeiro termo é  a  razão e a razão é ´r

a1 = 1
a2 = a
a3 = a²


6a + ( 1 + a + a²) = 31
a² + 7a + 1 - 31 = 0
a² + 7a - 30 = 0
delta = 49 + 120 = 169 ou +-V169 = +-13 ****

a = ( -7 +-13)/2
a1 = -20/2 = -10 ****  não  servirá  
a2 = 6/2 = 3***

PA  
a1 = 3
a2 = 2a = 6
a3 = 3a = 9

PG
a1 = 1***
a2 = a  = 3***
a3 = a² = 9  ***

PROVA
( 3 + 6 + 9 ) + ( 1 + 3 + 9 ) = 18 +  13 = 31 CONFERE
Primeiro tero da Pa  é 3  e as razões da PA e  da PG  é  3 *** confere

 

Answer 2

A razão da PA e PG é 3.

Sendo os termos da PA an e os termos da PG bn, do enunciado, temos as seguintes informações:

• San + Sbn = 31;
• b1 = 1;
• a1 = r = q

Os termos gerais da PA e da PG são:

an = a1 + (n - 1).r

bn = b1.qⁿ⁻¹

Da primeira equação, temos:

a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3 = 31

a1 + a1 + r + a1 + 2.r + b1 + b1.q + b1.q² = 31

3.r + 3.r + 1 + 1.(q + q²) = 31

3.r + 3.r + r + r² = 30

r² + 7.r = 30

Podemos escrever a seguinte equação do segundo grau:

r² + 7.r - 30 = 0

Resolvendo por Bhaskara, temos:

r' = 3 e r'' = -10

Como as progressões são crescentes, a razão é positiva, logo, r = 3.

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