Matemática, perguntado por jadytainara, 1 ano atrás

Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades
I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro
OBTER P.A.

Soluções para a tarefa

Respondido por CyberKirito

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir que a progressão aritmética procurada é (6,12,18)✅

Progressão Aritmética (PA)

Progressão Aritmética é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante chamada razão da progressão.

exemplo: a sequência (1,6,11,16) é uma PA de razão r=5.

Notação especial para PA de 3 termos

Em muitos exercícios é necessário expressar a PA pelo termo central ao qual chamaremos de x. assim a forma especial de representar esta PA de 3 termos sendo r a razão é :

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf (x-r,x,x+r)\end{array}}$

Essa forma é muito utilizada para resolver problemas que envolvem soma e produto envolvendo 3 termos da PA.

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui iremos usar a representação especial da PA de 3 termos para solucionar o exercício.

da primeira sentença temos a seguinte equação:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf (x-r)\cdot x\cdot(x+r)=(x-\diagup\!\!\!\!r+x+\diagup\!\!\!\!r)^2\\\sf x\cdot(x^2-r^2)=(3x)^2\\\sf x\cdot(x^2-r^2)=9x^2\\\sf (x^2-r^2)=\dfrac{9x^2}{x}\\\\\sf x^2-r^2=9x\end{array}}$

aqui supomos que x é não-nulo e simplificamos.

Da segunda sentença podemos escrever a seguinte equação:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x-r+\diagup\!\!\!\!x=\diagup\!\!\!\!x+r\\\sf x-r=r\\\sf x=r+r\\\sf x=2r\end{array}}$

substituindo x por 2r na primeira equação teremos

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf (2r)^2-r^2=9\cdot 2r\\\sf 4r^2-r^2=18r\\\sf 3r^2=18r\\\sf r^2=\dfrac{18r}{3}\\\\\sf r^2=6r\\\sf r^2-6r=0\\\sf r(r-6)=0\\\sf r=0\\\sf r-6=0\\\sf r=6\end{array}}$