Question

Uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros termos é de 30 e a soma dos dois últimos termo é 54. Qual é essa P.A?

Answer 1

PA = {a1, a2, a3, a4}

a1 + a2 = 30
a3 + a4 = 54

a1 + a1 + r = 30
2a1 + r = 30

a1 + 2r + a1 + 3r = 54
2a1 + 5r = 54
2a1 + r + 4r = 54
30 + 4r = 54
4r = 54 - 30
4r = 24
r = 6

2a1 + r = 30
2a1 + 6 = 30
2a1 = 24
a1 = 12


PA = {12, 18, 24, 30}

Answer 2

Temos a seguinte progressão:

$(a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,a_{4} )$

Temos que:

$\left \{ {{a_{1} + a_{2}=30} \atop {a_{3} + a_{4}=54}} \right.$

Logo com a primeira equação temos:

$a_{1} + a_{2} = 30 \\ \\ a_{1} + ( a_{1}+ r) = 30 \\ \\ 2 a_{1} + r = 30$

E com a segunda equação:

$a_{3}+ a_{4} = 54 \\ \\ (a_{1} + 2r) + (a_{1} + 3r) = 54 \\ \\ 2a_{1} + 5r = 54$

Concluindo o sistema de equações:

$\left \{ {{2a_{1} + 5r = 54} \atop { 2 a_{1} + r = 30}} \right.$

Resolvendo pelo método da subtração:

$(2-2)a_{1} + (5 - 1)r = 54 - 30 \\ \\ 4r = 24 \\ \\ r = \frac{24}{4} \\ \\ r = 6$

$2a_{1} + r = 30 \\ \\ a_{1} = \frac{30-r}{2} \\ \\ a_{1} = \frac{30-6}{2} \\ \\ a_{1} = 12$

Logo:

$(a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,a_{4} ) = (12,18,24,30)$