Question

Uma mola de massa desprezível e constante elástica k = 90, 0 N/m é presa verticalmente a uma mesa (gura abaixo). Um balão de 2, 00 g é preenchido com hélio até o volume de 5, 00 m3 e então é preso à mola, causando sua elongação. Determine a distância de estiramento L quando o balão está em equilíbrio. Dados: ρar = 1, 21 kg/m3 , ρHe = 0, 179 kg/m3 , g = 9, 80 m/s 2

Answer 1

Temos que levar em consideração as seguintes forças:
Peso do balão e do gás;
Empuxo do balão;
Força elástica da mola;
Então pela Segunda Lei de Newton
$\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\vec{F}_i=0$
A força resultante deve ser 0 (i.e. a soma das forças que atuam no sistema balão-mola)
$\vec{F}_e=-k\vec{x}\\\\\vec{P}=-M\vec{g}\\\\\vec{E}=\Delta m\vec{g}$
Onde
$M=\delta m+m=\rho_{_{He}}\Delta V+m\\\\\delta m=\text{massa do gas helio do balao}=\rho_{_{He}}\Delta V\\\\ m=\text{massa do balao}$
e
$\Delta m=\Delta V\rho_{a}\\\\\Delta m=\text{massa de ar deslocada pelo balao}$

O problema nos informa que o balão provoca um deslocamento no x da mola, ou seja, a deforma. Então levaremos em conta que esse sistema encontra-se em equilíbrio.
$\displaystyle i)~~~~\vec{F}_e+\vec{P}+\vec{E}=0\\\\ii)~~~\vec{F}_e=-\vec{P}-\vec{E}\\\\iii)~~-kx=Mg-\Delta mg\implies kx=\Delta mg-Mg$
segue a tabela de dados fornecida pelo problema:

$\displaystyle \begin{cases}k=90N/m\\m=2\cdot 10^{-2}kg\\\rho_{_{He}}=0,179kg/m^3\\\rho_{a}=1,21kg/m^3\\g=9,8m/s^2\\\Delta V=5m^3\end{cases}$

logo desenvolvemos a equação iii para encontrar a equação vi:
$\displaystyle iv)~~kx=\left(\rho_{a}\Delta V\right)g-\left(\rho_{_{He}}\Delta V+m\right)g\\\\v)~~~kx=g\left[\left(\rho_a-\rho_{_{He}\right)\Delta V-m}\right]\\\\vi)~~~x=\frac{g}{k}\left[\left(\rho_a-\rho_{_{He}\right)\Delta V-m}\right]$
essa é a equação que procurávamos, basta substituir os valores da tabelinha:
$\displaystyle vii)~~~x=\frac{9,8m^2}{90s^2N}\left[\left(1,21kg/m^3-0,179kg/m^3\right)5m^3-2\cdot 10^{-2}kg}\right]\\\\viii)~~x=\frac{9,8m}{90kg}\left[(1,031kg)5-2\cdot 10^{-2}kg\right]\\\\ix)~~~~x=\frac{9,8\cdot 1,011}{90}m\\\\x)~~~~x=\frac{9,9078}{90}m=\boxed{0,11m}$

A mola deslocou 0,11 metros, ou seja 11 centímetros.

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