Question

Uma mola de comprimento natural L=1,0m é pendurada na vertical com um corpo de massa m=1,0kg prêso a outra extremidade da mola. A mola é distendida de ΔL=0.25m e inicialmente em repouso no estado de equilíbrio.
Se então for imprimido sobre o corpo uma velocidade v0=5,0m/s para baixo,
a)Determine a expressão da equação de movimento para o corpo.
b)Determine a distância máxima atingida pelo corpo antes dêle se movimentar no sentido ascendente.
c)Determine a altura máxima alcançada pelo corpo.

Answer 1

Para determinar todos os dados precisamos antes escrever a equação diferencial que rege esse movimento, fazendo o diagrama de corpo livre do corpo vemos que há duas forças atuando sobre ela, a força peso e a força elástica restauradora e como ela entra em movimento quando a mola é distendida a soma dessas forças é igual a força resultante logo

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{F}_{\text{el}} + \vec{P} = \vec{F}_r\end{gathered} }$

De maneira mais explicita

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}-kx(t) + mg = ma(t)\end{gathered}$

Como a aceleração é a derivada segunda da posição obtemos

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}kx(t)+ m\ddot{x}(t) = mg\end{gathered}$

Simplificando temos

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ddot{x}(t) + \frac{k}{m}x(t) = g\end{gathered}$

Para fazer de uma maneira diferente, irei resolver a equação diferencial por transformada de Laplace, aplicando a transformada de Laplace na expressão acima temos

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}s^2X(s) - sx_0 - v_0 + \frac{k}{m}X(s) = \frac{g}{s}\end{gathered}$

Isolando X(s) obtemos

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}X(s)= \frac{\frac{g}{s} + sx_0 + v_0}{s^2 + \frac{k}{m}} \end{gathered} }$

Tomando ω² como k/m

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}X(x) = \frac{g/s}{s^2 + \omega^2} + x_0\frac{s}{s^2 + \omega^2} +\frac{v_0}{\omega}\frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \end{gathered}$

Fazendo a anti-transformada de Laplace

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = \frac{g}{\omega^2} - \frac{g}{\omega^2}\cos\left(\omega t\right) + x_0\cos\left(\omega t\right) + \frac{v_0}{\omega}\sin\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Simplificando obtemos

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) = \left(x_0-\frac{mg}{k}\right)\cos\left(\omega t\right) + \frac{v_0}{\omega}\sin\left(\omega t\right) + \frac{mg}{k}\end{gathered}$

Considerando que em nossa referência a posição x = 0 corresponde a posição de equilíbrio do sistema, quando é aplicado a velocidade chegamos em

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}x(t) =\frac{v_0}{\omega}\sin\left(\omega t\right)+\frac{mg}{k}\left(1 -\cos\left(\omega t\right)\right)\end{gathered}$

Substituindo os dados do problema

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{x(t) =-\frac{5}{\omega}\sin\left(\omega t\right)+\frac{1}{4}\left(1 -\cos\left(\omega t\right)\right)}\end{gathered} }$

ω ≅ 6,32, isso responde o item a.

b)

Para achar a distância máxima atingida antes dele ascender temos que calcular o ponto de mínimo da função acima, podemos fazer isso com derivadas (velocidade), ou então podemos fazer com fasores, que é como eu irei fazer pois acho mais simples que derivar, igualar a zero e depois substituir o ponto. Podemos calcular o mínimo do fasor, logo pegando a função auxiliar

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}x_2(t) =-\frac{5}{\omega}\sin\left(\omega t\right)-\frac{1}{4}\cos\left(\omega t\right)\right)\end{gathered}$

Seu fasor é

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\hat{X} = 0{,}83\angle 27^\circ\end{gathered}$

Logo a soma das trigonométricas é

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}x_2(t) =0{,}83\cos\left(\omega t +27^\circ\right)\end{gathered}$

Para essa função ser mínima basta fazer com que o cosseno seja -1, logo ωt + 27° deve ser igual a π, resolvendo essa equação de primeiro grau chegamos que t = 0,2, logo a distância máxima atingida pelo corpo ao ascender é dada no ponto t = 0,2

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{x(0{,}2) = -0{,}58\text{m}}\end{gathered} }$

Isso considerando nosso referencial no repouso.

c)

Usando novamente nosso fasor podemos maximizar a função agora, que acontece quando ωt + 27° é igual a 2π, resolvendo a equação de primeiro grau temos que t = 0,7, colocando isso na nossa função obtemos que a altura máxima é

                                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{x(0{,}7) = 1{,}08\text{m}}\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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