Question

Uma mola com constante elástica de 35 n/m é presa no teto de uma casa , e um cilindro de metal, com 1,0kg e 5,0cm de diâmetro, é preso à extremidade inferior da mola. O cilindro é inicialmente sustentado de forma que a mola não seja esticada nem comprimida, e depois um tanque de água é posicionado embaixo dele, com a superfície da água tocando levemente a parte inferior do cilindro. Quando liberado, o cilindro oscila algumas vezes, mas, amortecido pela água, rapidamente atinge uma posição de equilíbrio. Quando se encontra em equilíbrio, que comprimento do cilindro está submerso?

Answer 1

Apenas 28,56 centímetros do cilindro estão submersos.

Anexei uma figura no final desta resolução com todo o esquema para facilitar o entendimento.

Nela podemos ver todas as forças exercidas no cilindro:

• Força Peso: Proveniente do próprio peso do cilindro;
• Força de Empuxo: Força exercida pela água sob o cilindro (de baixo para cima);
• Força elástica: Força exercida pela mola sob o cilindro (também de baixo para cima).

Vamos agora calcular cada uma delas, separadamente:

Força Peso:

P = m*g

, onde m é a massa do cilindro e g a aceleração da gravidade no local.

Adotando uma aceleração da gravidade de 10 m/s², teremos:

P = 1*10 = 10 N

Força Elástica:

Fel = k*Δx

, onde k é a constate elástica da mola e Δx a deformação da mola.

Aqui voltaremos à figura. o tamanho em azul "b" é o comprimento final da mola. No início, ela não tinha qualquer deformação, de modo que a distância do teto ate a base do cilindro era:

D = x + b

Após o equilíbrio estático ser atingido teremos a nova distância entre o teto e a base do cilindro:

D' = x + y + b

A deformação da mola será dada por:

Δx = D' - D = x + y + b - x - b = y

, logo a força elástica será:

Fel = k*y = 35y

Agora, por fim, a força empuxo:

E = d*V*g

, onde d é a densidade da água, V o volume da parte submersa do cilindro e g a aceleração da gravidade no local (novamente 10 m/s²).

O volume do cilindro submerso pode ser facilmente obtido olhando para a imagem:

V = πR²*y = πyR²

Logo, o empuxo será de:

E = d*πyR²*g = 1*3,14*y*0,025²*10 = 0,019625y

Aplicando a segunda lei de newton no cilindro, temos que:

E + Fel = P

Logo:

0,019625y + 35y = 10

35,019625y = 10

y = 0,2856 m = 28,56 cm

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